[论文解读] A hybrid Fourier--Real Gaussian Mixture method for fast galaxy--PSF convolution

Dustin Lang|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2020

Galaxies: Formation, Evolution, Phenomena参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了一种混合傅里叶-实空间高斯混合方法，用于快速、精确地卷积星系轮廓与像素化点扩散函数（PSFs）。通过将常见星系轮廓（例如 de Vaucouleurs、Sérsic）近似为高斯混合，该方法利用傅里叶变换高效处理高频分量，同时在实空间中处理低频分量，从而避免混叠和超分辨率成本，同时在混合近似范围内保持精确性。

ABSTRACT

I present a method for the fast convolution of a model galaxy profile by a point-spread function (PSF) model represented as a pixel grid. The method relies upon three observations: First, most simple radial galaxy profiles of common interest (deVaucouleurs, exponential, Sersic) can be approximated as mixtures of Gaussians. Second, the Fourier transform of a Gaussian is a Gaussian, thus the Fourier transform of a mixture-of-Gausssian approximation of a galaxy can be directly evaluated as a mixture of Gaussians in Fourier space. Third, if a mixture component would result in Fourier-space aliasing, that component can be evaluated in real space. For mixture components to be evaluated in Fourier space, we use the FFT for the PSF model, direct evaluation of the Fourier transform for the galaxy, and the inverse-FFT to return the result to pixel space. For mixture components to be evaluated in real space---which only happens when the mixture components is much larger than the PSF---we use a simple Gaussian approximation of the PSF, perform the convolution analytically, and evaluate in real pixel space. The method is fast and exact (to the extent that the mixture-of-Gaussians approximation of the galaxy profile is exact) as long as the pixelized PSF model is well sampled. This Fourier method can be seen as a way of applying a perfect low-pass filter to the (typically strongly undersampled) galaxy profile before convolution by the PSF, at exactly the Nyquist frequency of the PSF pixel model grid. In this way, it avoids the computational expense of a traditional super-resolution approach. This method allows the efficient use of pixelized PSF models (ie, a PSF represented as a grid of pixel values) in galaxy forward model-fitting approaches such as the Tractor.

研究动机与目标

• 解决在天文物体图像模拟中，对欠采样星系轮廓与像素化PSF进行卷积时的计算瓶颈问题。
• 消除在傅里叶空间中星系轮廓卷积时对超分辨率渲染或昂贵查表的依赖。
• 实现对任意以像素网格表示的PSF模型，进行精确且快速的星系轮廓卷积。
• 通过最小化计算成本同时保持精度，支持大规模巡天中可扩展的正向建模。

提出的方法

• 将常见星系表面亮度轮廓（例如 de Vaucouleurs、Sérsic、指数型）近似为有限个高斯混合。
• 对混合体应用傅里叶变换：由于高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数，星系的傅里叶变换在傅里叶空间中也表现为高斯混合。
• 对于在通过FFT变换时可能引起混叠的混合分量，直接在实空间中使用解析高斯卷积进行计算。
• 使用FFT计算PSF的傅里叶变换，与星系的傅里叶变换在傅里叶空间中相乘，并通过逆FFT返回像素空间。
• 对于空间扩展较大的分量（低频），使用高斯近似的PSF在实空间中直接卷积，以避免高频混叠。
• 将傅里叶空间与实空间分量的结果合并，生成最终的、无混叠且在混合近似范围内精确的卷积结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 结合傅里叶与实空间卷积的混合方法，是否能在星系-PSF卷积中同时实现速度与精度？
• RQ2 标准星系轮廓在计算目的下，多大程度上可被准确近似为高斯混合？
• RQ3 如何在不使用超分辨率渲染的情况下避免由欠采样星系轮廓引起的混叠？
• RQ4 该方法能否高效应用于具有多样化PSF模型的大规模巡天数据？
• RQ5 该方法是否消除了在傅里叶空间卷积中为Sérsic轮廓预计算查表的需求？

主要发现

• 该方法在混合高斯近似范围内实现了精确卷积，并通过在PSF网格奈奎斯特频率处应用完美低通滤波器，避免了混叠。
• 该方法消除了对超分辨率渲染的需求，与传统方法相比显著降低了计算成本。
• 该方法实现了对一般Sérsic轮廓在大规模场景下的高效正向建模，通过在Sérsic指数间插值，避免了按指数建立查表的需求。
• 该技术已成功部署于DESI遗产成像巡天，处理了超过二十亿个源，覆盖20,000平方度的成像数据。
• 该方法利用解析表达式在傅里叶空间中快速评估指数型与Sérsic轮廓，性能通过快速指数近似进一步加速。
• Tractor代码中的实现表明，该混合方法在保持高精度的同时，显著降低了大规模测光巡天中的计算开销。