[论文解读] A hybrid framework for estimating nonlinear functions of quantum states

Y. Zhou, Zhenhuan Liu|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 12

一句话总结

本文提出了一种混合量子-经典框架，结合随机测量（RM）与广义交换测试，以高效估计量子态的非线性函数，如态矩和保真度。通过利用中等规模量子器件中的部分相干性，并对测量结果进行后处理，该方法降低了量子资源需求与经典计算成本，实现了对更高阶函数（如$\tr(\rho^m)$）的可扩展估计，所需测量次数显著少于传统RM或交换测试方法。

ABSTRACT

Estimating nonlinear functions of quantum states, such as the moment $ r(ρ^m)$, is of fundamental and practical interest in quantum science and technology. Here we show a quantum-classical hybrid framework to measure them, where the quantum part is constituted by the generalized swap test, and the classical part is realized by postprocessing the result from randomized measurements. This hybrid framework utilizes the partial coherent power of the intermediate-scale quantum processor and, at the same time, dramatically reduces the number of quantum measurements and the cost of classical postprocessing. We demonstrate the advantage of our framework in the tasks of state-moment estimation and quantum error mitigation.

研究动机与目标

• 为解决在近期待机量子设备上估计量子态非线性函数（如$\tr(\rho^m)$）的挑战，这些函数在量子信息中至关重要但难以测量。
• 降低现有方法的资源开销：交换测试需要对$m$份副本实现完全相干（随$m$增长而性能急剧下降），而随机测量（RM）对非线性函数则需要指数级多的测量次数。
• 开发一种混合方法，利用中等规模量子处理器的部分相干控制能力与RM后处理的高效性，以减少量子与经典计算成本，实现对多个非线性函数的估计。
• 实现在噪声近期待机量子系统中对关键量子量（如纯度、保真度和量子费希尔信息）的实用化估计。

提出的方法

• 该框架使用广义交换测试，将多个量子态$\rho$的副本相干纠缠，通过受控位移操作实现对非线性函数的线性测量。
• 将其与随机测量（RM）结合，通过对$m$份副本中的部分副本应用随机酉矩阵$U$，在保留部分相干性的同时实现在随机基下的测量。
• 通过控制量子比特和$\rho$的最后一份副本的测量结果，结合后处理以校正随机酉平均效应，构建无偏的经典估计器$\widehat{o}_t = \tr(O\rho^t)$。
• 对于更高阶函数如$P_m = \tr(\rho^m)$，该方法通过多轮测量与酉矩阵实现构建低方差估计器。
• 其关键创新在于仅对少量副本进行相干测量（通过交换测试），其余副本则应用RM，从而在量子相干性与经典效率之间实现平衡。
• 该框架可推广至任意形式为$\tr(O_1\rho O_2\rho \cdots O_m\rho)$的非线性函数，包括矩、保真度和时间有序外序关联函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合方法能否减少估计量子态非线性函数（如$\tr(\rho^m)$）所需的量子测量次数与经典后处理步骤？
• RQ2 如何利用中等规模量子处理器中的部分相干性，以比完整交换测试或标准RM更高效地估计高阶矩？
• RQ3 在估计非线性函数时，量子相干性与经典后处理成本之间的权衡是什么？是否可实现优化？
• RQ4 该框架能否扩展至以更低资源开销估计复杂可观测量（如量子费希尔信息或时间有序外序关联函数）？
• RQ5 与纯RM或纯交换测试方法相比，所提出的混合估计器在统计效率与方差标度方面表现如何？

主要发现

• 该混合框架在估计$\tr(\rho^m)$时，相比完整交换测试与标准随机测量协议，显著减少了所需量子测量次数与经典后处理步骤。
• 对于$m=2$，该方法通过单次测量（控制量子比特与一份$\rho$副本）结合随机酉的后处理，实现了对$\tr(O\rho^2)$的无偏估计。
• 通过整合多轮测量与酉矩阵实现，该框架可实现对$m>2$的$\tr(\rho^m)$的估计，其中估计器$\widehat{o}_3''$与$\widehat{o}_4''$被证明为无偏。
• 该方法显著降低了测量成本：标准RM对非线性函数需指数级测量，而该混合方法随系统尺寸与$m$呈多项式增长，使其适用于更大系统。
• 该框架适用于广泛类别的非线性函数，包括纯度、保真度、量子费希尔信息与拓扑不变量，方法是将它们表达为一般形式$\tr(O_1\rho O_2\rho \cdots O_m\rho)$。
• 理论分析证实，所提出的估计器为无偏，且其方差受随机酉集合选择与测量统计的影响。