[论文解读] A Hybrid High-Order method for nonlinear elasticity

Michele Botti, Daniele A. Di Pietro+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文提出了一种用于小变形范围下非线性弹性力学的新型混合高阶（HHO）方法，通过在网格单元和面上使用不连续的多项式自由度，实现了高阶精度、多边形网格和静态消去。该方法确保了局部虚功原理和作用-反作用力合规性，并为一般非线性应力-应变律证明了最优收敛率。

ABSTRACT

In this work we propose and analyze a novel Hybrid High-Order discretization of a class of (linear and) nonlinear elasticity models in the small deformation regime which are of common use in solid mechanics. The proposed method is valid in two and three space dimensions, it supports general meshes including polyhedral elements and nonmatching interfaces, enables arbitrary approximation order, and the resolution cost can be reduced by statically condensing a large subset of the unknowns for linearized versions of the problem. Additionally, the method satisfies a local principle of virtual work inside each mesh element, with interface tractions that obey the law of action and reaction. A complete analysis covering very general stress-strain laws is carried out, and optimal error estimates are proved. Extensive numerical validation on model test problems is also provided on two types of nonlinear models.

研究动机与目标

• 开发一种在小变形范围内对非线性弹性力学问题具有鲁棒性的高阶离散化方法。
• 支持一般多边形网格和非匹配界面，以增强在复杂几何形状和自适应加密中的灵活性。
• 在任意多项式阶次下实现最优收敛率，同时通过静态消去降低计算成本。
• 确保局部守恒性质，包括每个单元内的局部虚功原理以及界面上的作用-反作用力合规性。
• 为一般非线性应力-应变律提供完整的收敛性分析，包括工程实践中常见的材料模型。

提出的方法

• 该方法在网格单元和面上采用阶次 $k \geq 1$ 的不连续多项式自由度，实现高阶精度和局部重构。
• 局部重构算子通过基于自由度的单元内鞍点问题，计算离散对称梯度和位移。
• 弱形式包括一个一致性项（用离散对称梯度替代真实对称梯度）和一个惩罚界面残差的稳定项。
• 稳定项通过控制离散应变和牵引场的跳跃，确保稳定性与最优收敛性。
• 该方法支持线性化问题的静态消去，减少全局耦合自由度数量，提升计算效率。
• 离散格式在每个单元内满足局部虚功原理，且数值牵引力在界面上满足作用-反作用定律。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合高阶方法是否能在最小正则性假设下，对一般非线性弹性模型实现最优收敛？
• RQ2 HHO方法在多边形网格和非匹配界面上的性能如何，同时保持高阶精度？
• RQ3 该方法在非线性范围内在多大程度上保持了局部守恒性质，如虚功原理和作用-反作用力？
• RQ4 静态消去是否可有效应用于HHO离散化以降低非线性求解的计算成本？
• RQ5 对于具有强非线性的应力-应变律（如软材料或金属合金中的材料）的HHO方法，其收敛行为如何？

主要发现

• 在一般非线性应力-应变律下，位移和应力场在能量范数下的最优收敛率为 $h^{k+1}$。
• 位移在 $H^1$-范数下和应力在 $L^2$-范数下的收敛率均为 $\mathcal{O}(h^{k+1})$，实现最优收敛。
• 在标准网格假设下，离散Korn不等式成立，确保了离散问题的稳定性和适定性。
• 数值实验验证了在强非线性条件下的鲁棒性能，收敛率与理论预测一致。
• 该方法支持任意多项式阶次 $k \geq 1$ 和一般多边形网格，包括悬空节点和非协调界面。
• 静态消去显著减少了全局耦合自由度数量，大幅提升了非线性求解中牛顿迭代的效率。