[论文解读] A Hybrid Observer for a Distributed Linear System with a Changing Neighbor Graph

L. Wang, A. Stephen Morse+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 9被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种混合观测器，用于在具有时变邻居图的线性系统中实现分布式状态估计，结合了连续时间局部观测器与离散事件参数估计。在联合可观测性和强连通性条件下，即使在节点动态加入或离开网络时，也能实现对真实状态的指数收敛。

ABSTRACT

A hybrid observer is described for estimating the state of an $m>0$ channel, $n$-dimensional, continuous-time, distributed linear system of the form $\dot{x} = Ax,\;y_i = C_ix,\;i\in\{1,2,\ldots, m\}$. The system's state $x$ is simultaneously estimated by $m$ agents assuming each agent $i$ senses $y_i$ and receives appropriately defined data from each of its current neighbors. Neighbor relations are characterized by a time-varying directed graph $\mathbb{N}(t)$ whose vertices correspond to agents and whose arcs depict neighbor relations. Agent $i$ updates its estimate $x_i$ of $x$ at "event times" $t_1,t_2,\ldots $ using a local observer and a local parameter estimator. The local observer is a continuous time linear system whose input is $y_i$ and whose output $w_i$ is an asymptotically correct estimate of $L_ix$ where $L_i$ a matrix with kernel equaling the unobservable space of $(C_i,A)$. The local parameter estimator is a recursive algorithm designed to estimate, prior to each event time $t_j$, a constant parameter $p_j$ which satisfies the linear equations $w_k(t_j-τ) = L_kp_j+μ_k(t_j-τ),\;k\in\{1,2,\ldots,m\}$, where $τ$ is a small positive constant and $μ_k$ is the state estimation error of local observer $k$. Agent $i$ accomplishes this by iterating its parameter estimator state $z_i$, $q$ times within the interval $[t_j-τ, t_j)$, and by making use of the state of each of its neighbors' parameter estimators at each iteration. The updated value of $x_i$ at event time $t_j$ is then $x_i(t_j) = e^{Aτ}z_i(q)$. Subject to the assumptions that (i) the neighbor graph $\mathbb{N}(t)$ is strongly connected for all time, (ii) the system whose state is to be estimated is jointly observable, (iii) $q$ is sufficiently large, it is shown that each estimate $x_i$ converges to $x$ exponentially fast as $t ightarrow \infty$ at a rate which can be controlled.

研究动机与目标

• 解决现有分布式观测器在时变或不稳定邻居关系下失效的局限性。
• 克服先前观测器在节点从网络中脱离时变得不稳定的脆弱性。
• 设计一种具有韧性的分布式观测器，即使在动态节点连通性下也能保持指数收敛。
• 使每个节点能够仅通过本地测量和邻居数据估计全局系统状态，即使网络拓扑发生变化。
• 确保在节点故障或断连的情况下，观测器仍能保持功能性和稳定性，前提是剩余网络保持强连通且系统具有联合可观测性。

提出的方法

• 每个节点使用连续时间局部观测器来估计状态的线性变换 $ L_i x $，其中 $ L_i $ 捕获了从节点 $ i $ 观测视角下的可观测部分状态。
• 在离散事件时间 $ t_j $，节点在区间 $ [t_j - \tau, t_j) $ 内运行 $ q $ 次迭代的递归参数估计器，利用邻居估计值重建在 $ t_j - \tau $ 冻结的 $ x $。
• 参数估计器递归地使用邻居数据更新状态 $ z_i $，并求解 $ w_k(t_j - \tau) = L_k p_j + \mu_k(t_j - \tau) $，其中 $ p_j $ 是在 $ t_j - \tau $ 时刻的估计状态。
• 每个节点将其状态估计更新为 $ x_i(t_j) = e^{A\tau} z_i(q) $，使用其参数估计器在 $ q $ 次迭代后的最终值。
• 该观测器为混合系统：事件之间为连续时间动态，事件时刻基于邻居数据进行离散更新。
• 通过使用矩阵范数和增益矩阵乘积 $ \Omega_j $ 的谱半径界进行压缩分析，保证了估计误差的指数衰减，从而确保收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当邻居图随时间变化时，分布式观测器能否保持指数收敛？
• RQ2 当节点从网络中脱离时，此类观测器能否保持稳定和准确？
• RQ3 能否设计一种具有韧性的分布式观测器，而无需依赖固定网络拓扑或全局同步？
• RQ4 本地节点如何仅通过本地测量和间歇性邻居数据估计全局状态？
• RQ5 在时变通信和拓扑条件下，何种条件可确保估计误差指数衰减？

主要发现

• 在时变邻居图满足联合可观测性和强连通性条件下，混合观测器可确保每个节点的状态估计对真实状态实现指数收敛。
• 收敛速率由 $ \lambda = -\frac{1}{T} \ln \beta $ 限定，其中 $ \beta < 1 $，且依赖于观测器增益矩阵的谱半径。
• 估计误差满足 $ \|x_i(t) - x(t)\|_2 \leq e^{-\lambda t}(\sigma_x + \sigma_\mu) $，对所有 $ t \geq 0 $ 成立，其中 $ \sigma_x $ 和 $ \sigma_\mu $ 分别表示初始偏差和误差状态偏差。
• 该观测器具有韧性：若一个节点离开网络，只要剩余图保持强连通且系统仍具联合可观测性，其余节点将继续正确估计状态。
• 增加参数估计器中的迭代次数 $ q $ 可提升收敛速度，因为 $ \beta $ 随 $ q $ 增大而减小，尽管传输延迟可能限制实际可取的 $ q $ 值。
• 该方法对测量噪声具有鲁棒性，在噪声下性能平稳下降，表明其可扩展至含噪声场景，并结合最优滤波技术。