[论文解读] A Hybrid Quantum-Classical CFD Methodology with Benchmark HHL Solutions

Leigh Lapworth|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 8

一句话总结

本论文提出了一种基于SIMPLE算法的混合量子-经典CFD求解器，用于二维顶盖驱动腔流问题，采用HHL量子线性求解器加速矩阵求解。该工作提出了一种高效方法，用于动态CFD矩阵的LCU系数重新计算，展示了基准HHL求解结果，并揭示了在CFD中实现量子优势时，经典预处理时间与量子运行时间同等关键。

ABSTRACT

There has been significant progress in the development of quantum algorithms for solving linear systems of equations with a growing body of applications to Computational Fluid Dynamics (CFD) and CFD-like problems. This work extends previous work by developing a non-linear hybrid quantum-classical CFD solver and using it to generate fully converged solutions. The hybrid solver uses the SIMPLE CFD algorithm, which is common in many industrial CFD codes, and applies it to the 2-dimensional lid driven cavity test case. A theme of this work is the classical processing time needed to prepare the quantum circuit with a focus on the decomposition of the CFD matrix into a linear combination of unitaries (LCU). CFD meshes with up to 65x65 nodes are considered with the largest producing a LCU containing 32,767 Pauli strings. A new method for rapidly re-computing the coefficients in a LCU is proposed, although this reduces, rather than eliminates, the classical scaling issues. The quantum linear equation solver uses the Harrow, Hassidim, Lloyd (HHL) algorithm via a state-vector emulator. Test matrices are sampled from the classical CFD solver to investigate the solution accuracy that can be achieved with HHL. For the smallest 5x5 and 9x9 CFD meshes, full non-linear hybrid CFD calculations are performed. The impacts of approximating the LCU and the varying the number of ancilla rotations in the eigenvalue inversion circuit are studied. Preliminary timing results indicate that the classical computer preparation time needed for a hybrid solver is just as important to the achievement of quantum advantage in CFD as the time on the quantum computer. The reported HHL solutions and LCU decompositions provide a benchmark for future research. The CFD test matrices used in this study are available upon request.

研究动机与目标

• 开发一种基于工业标准SIMPLE算法的非线性混合量子-经典CFD求解器，用于二维流动问题。
• 解决量子CFD中经典预处理的计算瓶颈，特别是稀疏CFD矩阵的LCU分解问题。
• 为未来量子CFD研究提供可复现的HHL求解与LCU分解基准。
• 评估LCU近似与辅助量子比特数量对HHL求解精度在CFD背景下的影响。
• 量化经典运行时间与量子运行时间在实现CFD应用量子优势中的相对贡献。

提出的方法

• 采用SIMPLE算法对二维顶盖驱动腔测试案例中的纳维-斯托克斯方程进行线性化，实现通过量子线性求解迭代求解非线性CFD问题。
• 使用态矢量模拟器模拟HHL算法，以在每次SIMPLE迭代中求解线性化系统。
• 提出一种新方法，通过利用稀疏模式与泡利矩阵正交性，快速重新计算LCU系数，降低经典预处理开销。
• 采用基于聚类的方法将CFD矩阵分解为酉算符的线性组合（LCU），其中每个聚类共享相同的稀疏模式，且酉系数通过矩阵求逆求解，满足 $ U^T U = 2^n I $。
• 利用恒等式 $ (U^T U)_{ij} = \text{prod}_k G_H(P_{i,k}, P_{j,k}) $ 证明 $ U^T U = 2^n I $，从而实现通过 $ \boldsymbol{\alpha} = \frac{1}{2^n} U^T \hat{H} $ 直接计算系数。
• 使用1字节整数（$ \text{int8}_t $）和每聚类的稀疏索引存储LCU条目，相比迹正交方法显著降低存储开销。

实验结果

研究问题

• RQ1 HHL求解精度如何随LCU近似程度和特征值反演中使用的辅助量子比特数量而变化？
• RQ2 生成随时间演化CFD矩阵的LCU分解的典型预处理成本是多少？其随网格尺寸如何变化？
• RQ3 在非线性迭代框架中，使用HHL作为线性求解器的混合量子-经典CFD求解器能否实现完全收敛的解？
• RQ4 所提出的LCU系数重新计算方法相比完整重新计算，能多大程度减少经典开销？
• RQ5 经典预处理时间与量子运行时间在决定CFD应用中量子优势可行性方面，各自贡献如何？

主要发现

• 该方法成功实现了使用HHL作为线性求解器的完整非线性混合CFD模拟，适用于 $ 5\times5 $ 和 $ 9\times9 $ 网格。
• 对于 $ 65\times65 $ 网格，LCU分解包含多达32,767个泡利字符串，证明了其在大规模CFD系统中的可扩展性。
• 所提出的LCU系数重新计算方法虽降低了经典缩放开销，但并未完全消除，凸显了预处理作为关键瓶颈。
• 研究结果表明，量子电路构建的经典准备时间与量子运行时间同等重要，是实现CFD中量子优势的关键因素。
• 利用 $ U^T U = 2^n I $ 可实现精确且高效的系数计算，通过 $ \boldsymbol{\alpha} = \frac{1}{2^n} U^T \hat{H} $ 实现，且 $ \pm1 $ 元素以1字节整数存储。
• 本研究为未来量子CFD研究提供了公开的HHL求解与LCU分解基准，可用于验证与比较。