[论文解读] A hyperbolic diffeomorphism with countably many ergodic components near identity

Huyi Hu, Anna Talitskaya|ArXiv.org|Oct 19, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文在四维紧致黎曼流形上构造了一个光滑、保体积、双曲的微分同胚，其与恒等映射任意接近，并具有可数无穷多个遍历分支。通过在常负曲率曲面上的测地流进行扰动，作者在保持遍历性与双曲性的同时消除了两个零 Lyapunov 指数，证明了此类系统存在于恒等映射的任意小邻域中。

ABSTRACT

We construct a smooth hyperbolic volume preserving diffeomorphism on a four dimensional compact Riemannian manifold which has countably many ergodic components and is arbitrarily close to the identity map.

研究动机与目标

• 在四维流形上构造一个与恒等映射任意接近的光滑、保体积、双曲微分同胚。
• 证明此类系统具有可数无穷多个遍历分支，从而填补对恒等映射附近动力系统理解的空白。
• 克服在四维设定下消除两个零 Lyapunov 指数的同时保持双曲性与遍历性的挑战。
• 将先前关于具有无穷多个遍历分支的非一致双曲系统的结果，扩展至与恒等映射任意接近的系统。

提出的方法

• 对常负曲率曲面上的测地流与圆周上的恒等映射的乘积进行扰动，构造基底映射 F = G × id。
• 将圆周 S¹ 划分为可数个互不相交的区间 In，并通过 πn 的仿射共轭在 M₀ × In 上定义局部扰动 fn。
• 对基底映射 S = G × id 施加三次小的 C∞ 保体积扰动，以实现遍历性并消除零 Lyapunov 指数。
• 在局部坐标上使用类似旋转的映射 Tθ，构造保持体积且具有小 C¹ 范数的扰动，确保与恒等映射的接近性。
• 确保扰动在每个区间 In 的端点处保持导数结构，以维持光滑性与 C¹ 接近恒等映射。
• 利用符号动力系统与周期轨道的稠密性构造可达性几乎处处成立的集合，从而实现遍历性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在恒等映射附近构造一个具有可数无穷多个遍历分支的 C∞ 双曲保体积微分同胚？
• RQ2 在四维系统中，如何在不破坏先前扰动所导致的非零 Lyapunov 指数稳定性前提下，消除两个零 Lyapunov 指数？
• RQ3 是否可能通过保持体积与 C¹ 接近恒等映射的扰动，在四维系统中实现具有两个零 Lyapunov 指数的遍历性？
• RQ4 此类系统在恒等映射附近的存 在是否与 Anosov 系统在恒等映射附近不存在的结论相矛盾？

主要发现

• 存在一个 C∞ 微分同胚 f，定义在四维紧致黎曼流形上，使得对任意 δ₀ > 0，都有 ||f − id||C₁ ≤ δ₀。
• 该映射 f 保持黎曼体积 μ，且为双曲映射，几乎所有地方的 Lyapunov 指数均非零。
• 该系统具有可数无穷多个遍历分支，每个分支模零集为开集，确认了此类系统在恒等映射附近的存 在。
• 构造过程使用了三次扰动：一次用于实现可达性，一次用于消除第一个零 Lyapunov 指数，第三次用于消除第二个零 Lyapunov 指数，同时保持双曲性。
• 扰动技术确保了在每个区间 In 的边界处导数结构得以保持，从而维持与恒等映射的 C¹ 接近性。
• 结果表明，具有无穷多个遍历分支的非一致双曲系统可以存在于恒等映射的任意小邻域中，这与 Anosov 系统在恒等映射附近不存在的结论形成鲜明对比。