[论文解读] A hyperbolic Out(F_n)-complex

Mladen Bestvina, Mark Feighn|ArXiv.org|Aug 27, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用 16

一句话总结

本文构建了一个连通的、$δ$-双曲图${\mathcal{X}}$，使得$\mathrm{Out}(F_n)$在其上等距作用，且任意有限个完全不可约自同构的平移长度均为正。该构造采用鲍迪奇的方法，利用环状系统与双曲交叉比，依赖于$\mathrm{Out}(F_n)$在树空间与当前空间上的动力系统，得到一个无内在描述的双曲复形，类似于曲率复形。

ABSTRACT

For any finite collection $f_i$ of fully irreducible automorphisms of the free group $F_n$ we construct a connected $δ$-hyperbolic $Out(F_n)$-complex in which each $f_i$ has positive translation length.

研究动机与目标

• 构建一个$\delta$-双曲的$\mathrm{Out}(F_n)$-复形，使得完全不可约自同构具有正平移长度。
• 将鲍迪奇在收敛群情形下基于双曲性构造的方法，扩展至$\mathrm{Out}(F_n)$情形，利用树与当前空间上的动力系统。
• 为最近哈门施泰特所宣布的$\mathrm{Out}(F_n)$上的拟同态构造提供几何框架。
• 证明在新复形中，单形树与真自由因子的稳定化子具有有界轨道。
• 证明该复形虽非内在构造，但仍对研究$\mathrm{Out}(F_n)$的几何性质具有用处。

提出的方法

• 将鲍迪奇基于群作用于满足公理(A1)与(A2)的环状系统空间构造双曲空间的方法进行适配。
• 通过嵌套环状结构的计数，在树与当前空间的集合上定义双曲路径交叉比。
• 利用$\mathrm{Out}(F_n)$在紧化外空间$\overline{\mathcal{PT}}$与射影化当前空间$\mathcal{M}(F_n)$上的动力系统，定义环状系统。
• 在集合$M$中互异三点的有序三元组上构造一个拟度量$\rho$，利用交叉比，并证明其定义了一个双曲路径拟度量。
• 将该构造应用于$\mathrm{Out}(F_n)$在树与当前空间上的作用，通过交叉比公理确保双曲性。
• 依赖于关于完全不可约自同构的动力学及其在外空间边界上的南北动力学的已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个$\delta$-双曲的$\mathrm{Out}(F_n)$-复形，使得完全不可约自同构具有正平移长度？
• RQ2 鲍迪奇从群作用于具有环状系统的空间构造双曲空间的方法，能否推广至$\mathrm{Out}(F_n)$情形？
• RQ3 能否利用$\mathrm{Out}(F_n)$在树与当前空间上的动力系统定义双曲交叉比？
• RQ4 此类复形对$\mathrm{Out}(F_n)$研究的几何后果是什么，特别是对构造拟同态有何意义？
• RQ5 是否能确保在所构造的复形中，单形树与真自由因子的稳定化子具有有界轨道？

主要发现

• 对于任意有限个完全不可约自同构$f_1, \dots, f_k$在$\mathrm{Out}(F_n)$中，存在一个连通的$\delta$-双曲图$\mathcal{X}$，其上$\mathrm{Out}(F_n)$等距作用，且每个$f_i$具有正平移长度。
• 在$\overline{\mathcal{PT}}$中任意单形树的稳定化子在$\mathcal{X}$中具有有界轨道，且对真自由因子的稳定化子亦然。
• 该构造依赖于满足公理(A1)与(A2)的环状系统所导出的双曲路径交叉比，确保所得空间为双曲。
• 复形$\mathcal{X}$并非如曲率复形那般具有内在描述，但其仍对构造$\mathrm{Out}(F_n)$上的拟同态具有用处，如哈门施泰特所展示。
• 以有限生成集为基的$\mathrm{Out}(F_n)$的凯莱图中，包含任意大的球，其内全由完全不可约自同构组成。
• 若$\Gamma$是秩$\geq 2$的半单李群中一个不可约格，那么任何嵌入$\Gamma \to \mathrm{Out}(F_n)$均不可能包含任何完全不可约自同构。