[论文解读] A hyperplane inequality for measures of unconditional convex bodies

Alexander Koldobsky|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文建立了无条件凸体测度的超平面不等式，证明此类凸体的测度被一个绝对常数乘以其中心截面测度最大值再乘以体积分的 1/n 次幂所界定。该结果通过截面体的稳定性性质与 lp-球的线性变换，将 Bourgain 的体积不等式推广至任意偶连续测度。

ABSTRACT

We prove an inequality that extends to arbitrary measures the hyperplane inequality for volume of unconditional convex bodies originally observed by Bourgain.

研究动机与目标

• 将无条件凸体的超平面不等式从体积推广至任意测度。
• 建立一个涉及中心截面测度最大值与体积分的统一有界性。
• 将超平面不等式推广至具有有界体积比的凸体对偶。
• 利用截面体的稳定性结果推导基于测度的不等式。
• 通过函数与几何工具，为对称凸几何中的测度比较提供统一框架。

提出的方法

• 使用 Lozanovskii 定理将无条件凸体 L 嵌入到一个缩放后的 L1-球及其对偶中，从而利用截面体的性质。
• 构造线性算子 T，使得 T(B∞ⁿ) ⊂ L ⊂ nT(B1ⁿ)，将 L 与一个截面体 K 关联。
• 定义密度函数 f = χK + gχL，其中 g 为测度 μ 的密度，确保 f ≥ 1 在 K 上成立。
• 应用截面体的稳定性不等式（命题 1）以界定 f 在 K 上的积分。
• 利用体积比与对偶体关系，将 L 的测度与对偶体的测度关联，特别是通过椭球体。
• 通过 ℓp-球的体积公式与行列式界，估计 |K|^{1/n} 关于 |L|^{1/n} 的表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 无条件凸体的体积超平面不等式能否推广至具有偶连续非负密度的任意测度？
• RQ2 在无条件体的测度超平面不等式中，最优绝对常数 C 是多少？
• RQ3 对偶体具有有界体积比时，其对偶体的体积比如何影响测度不等式？
• RQ4 截面体的稳定性结果在多大程度上可用于推导测度比较不等式？
• RQ5 在对偶情形下，对体积比的依赖关系是否紧致，或可进一步改进？

主要发现

• 存在一个绝对常数 C，使得对任意无条件凸体 L 及任意具有偶连续非负密度的测度 μ，有 μ(L) ≤ C × maxξ∈Sⁿ⁻¹ μ(L ∩ ξ⊥) × |L|^{1/n}。
• 常数 C 可取为 e（约 2.718），且当 n → ∞ 时渐近趋于约 0.5√e。
• 该不等式通过截面体的稳定性结果证明，其中体 K = nT(B₁ⁿ) 被证明为一个截面体。
• 对于具有有界体积比的体的对偶，不等式中包含对偶体体积比的因子，且 C 仅依赖于绝对常数。
• 该结果推广了先前对截面体与 k-截面体的不等式，其中最佳已知常数为 C = n/(n−1)cn。
• 该方法适用于无条件体及其具有有界体积比的对偶体，统一了两类体在单一基于测度的超平面不等式下。