[论文解读] A-infinity Algebras Derived from Associative Algebras with a Non-Derivation Differential

Kaj Börjeson|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文在具有非导子性质的度数为 +1 的微分 $\Delta$ 的分次结合代数上引入了 $A_\infty$-结构，该微分不一定是导子，用于度量 $\Delta$ 与乘积不交换的失败程度。主要贡献是提出了 BV-代数的非交换类比，其中当 $\Delta$ 的结合阶数为 2 时，可得到一个与原乘积相容的严格结合的度数为 +1 的乘积，推广了 Hochschild 上同调与 bar 分解中的构造。

ABSTRACT

Given an associative graded algebra equipped with a degree +1 differential we define an A-infinity structure that measures the failure of the differential to be a derivation. This can be seen as a non-commutative analog of generalized BV-algebras. In that spirit we introduce a notion of associative order for the differential and prove that it satisfies properties similar to the commutative case. In particular when it has associative order 2 the new product is a strictly associative product of degree +1 and there is a compatibility between the products, similar to ordinary BV-algebras. We consider several examples of structures obtained in this way. In particular we obtain an A-infinity structure on the bar complex of an A-infinity algebra that is strictly associative if the original algebra is strictly associative. We also introduce strictly associative degree +1 products for any degree +1 action on a graded algebra. Moreover, an A-infinity structure is constructed on the Hochschild cocomplex of an associative algebra with a non-degenerate inner product by using Connes' B-operator.

研究动机与目标

• 在分次结合代数上定义一个度数为 +1 的微分 $\Delta$ 的 $A_\infty$-结构，且不要求 $\Delta$ 是导子。
• 引入 $\Delta$ 的结合阶数的概念，推广广义 BV-代数中阶数的概念。
• 建立当 $\Delta$ 的结合阶数为 2 时，原乘积与新度数为 +1 的乘积之间的相容性。
• 将该构造应用于具体情形，包括 $A_\infty$-代数的 bar 复形以及带有 Connes 的 $B$-算子的 Hochschild 上上同调复形。
• 证明在 Hochschild 上同调上诱导出的 $A_\infty$-结构中，$m_2$ 等于 Gerstenhaber 李括号（符号相反）。

提出的方法

• 通过微分 $\Delta$ 和结合乘积定义 $A_\infty$-运算 $m_n$，其中 $m_n$ 度量 $\Delta$ 不是导子的失败程度。
• 在复形的对称张量范畴中使用 Koszul 符号法则，处理运算中的分次符号。
• 在 $A_\infty$-代数的 bar 复形上构造 $A_\infty$-结构，证明当原代数严格结合时，该结构成为严格结合的。
• 将该构造应用于具有非退化不变内积的有限维结合代数的 Hochschild 上上同调复形。
• 利用内积将 Connes 的 $B$-算子对偶化为上上同调复形上的度数为 +1 的微分，然后应用一般构造。
• 证明在上同调上诱导出的 $A_\infty$-结构满足 $m_1 = \Delta$ 且 $m_2$ 等于 Gerstenhaber 李括号（符号相反）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在配备有度数为 +1 的微分 $\Delta$（不一定是导子）的分次结合代数上定义 $A_\infty$-结构？
• RQ2 在非交换情形下，$\Delta$ 的阶数概念应如何推广？其与高阶 $A_\infty$-运算消失的关系为何？
• RQ3 当 $\Delta$ 的结合阶数为 2 时，原结合乘积与新度数为 +1 的乘积之间会产生何种相容性条件？
• RQ4 该构造能否应用于 $A_\infty$-代数的 bar 复形？若能，会诱导出何种结构？
• RQ5 当该构造应用于带有 Connes 的 $B$-算子的上上同调复形时，是否能诱导出 Hochschild 上同调上的 Gerstenhaber 李括号？

主要发现

• $A_\infty$-运算 $m_n$ 被定义为 Koszul 层次在非交换代数上的推广，用于度量 $\Delta$ 不是导子的失败程度。
• 当 $\Delta$ 的结合阶数为 2 时，运算 $m_2$ 变为一个严格结合的度数为 +1 的乘积，且原乘积与新乘积之间存在相容性。
• 该构造在 $A_\infty$-代数的 bar 复形上诱导出一个严格结合的度数为 +1 的乘积，当原代数严格结合时，该结构是严格的。
• 在具有非退化不变内积的 Hochschild 上上同调复形上，由 Connes 的 $B$-算子诱导出的 $A_\infty$-结构满足 $m_2$ 等于 Gerstenhaber 李括号（符号相反）。
• 在上同调上诱导出的 $A_\infty$-结构是良定义的，并诱导出标准的 Gerstenhaber 李括号，确认其与形变理论中已知结构的一致性。
• 该构造在同调分次设定下成立，且在 $C^\bullet(A,A)[-1]$ 上诱导出的 $A_\infty$-结构与 Hochschild 上边界算子相容。