[论文解读] A-infinity algebras, modules and functor categories

Bernhard Keller|ArXiv.org|Oct 24, 2005

Rings, Modules, and Algebras被引用 11

一句话总结

本文基於 Lyubashenko 的思想與 Lefèvre 的 Quillen 模型方法，利用余代数的閉合張量範疇構造 A-infinity 函子範疇，透過函子範疇中的複合雙函子，使 associative 代數的 Hochschild 複形的 bar 構造自然地具有雙代數結構，從而深化了對導出範疇中 A-infinity 結構的同倫理解。

ABSTRACT

In this survey, we first present basic facts on A-infinity algebras and modules including their use in describing triangulated categories. Then we describe the Quillen model approach to A-infinity structures following K. Lefevre's thesis. Finally, starting from an idea of V. Lyubashenko's, we give a conceptual construction of A-infinity functor categories using a suitable closed monoidal category of cocategories. In particular, this yields a natural construction of the bialgebra structure on the bar construction of the Hochschild complex of an associative algebra.

研究动机与目标

• 使用余代數與閉合張量結構，提供 A-infinity 函子範疇的觀念性、函子性構造。
• 根據 Lefèvre 的框架，將 A-infinity 代數與模視為微分分次余代數的 Quillen 模型範疇中的 fibrant 對象。
• 透過 A-infinity 函子範疇中的複合，建立 associative 代數的 Hochschild 複形的 bar 構造上的自然雙代數結構。
• 透過函子性與同倫方法，推廣 A-infinity 結構在三角範疇與導出範疇中的角色。
• 透過 dg 範疇框架，釐清 A-infinity 模、雙模與 Hochschild 上同調之間的關係。

提出的方法

• 以 cocomplete augmented dg cocategories 範疇作為定義 A-infinity 函子範疇的基礎。
• 應用 Lefèvre 的 Quillen 模型結構，將 A-infinity 代數解釋為 fibrant dg 余代數，模解釋為 fibrant comodules。
• 使用 A-infinity 代數 A 的 bar 構造 BA，將函子範疇 Fun∞(A, C(k)+) 實現為 B(Homc(BA, BA))。
• 透過 dg 余代數範疇中的張量積與內在 Hom 構造複合雙函子，產生一個態射 B(Fun∞(A′,A′′)) ⊗ B(Fun∞(A,A′)) → B(Fun∞(A,A′′))。
• 識別出 B(Fun∞(A,A)) 範疇中恆等函子的自同態余代數 End(1) 為 Hochschild 複形的 bar 構造 B(C(A,A))。
• 證明複合雙函子在 End(1) 上誘導出一個結合乘法，使其成為雙代數，其乘法由 brace 運算給出。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用高階範疇論與同倫工具，以概念性自然的方式構造 A-infinity 函子範疇？
• RQ2 余代數與閉合張量結構在組織 A-infinity 函子及其複合中扮演何種角色？
• RQ3 A-infinity 函子範疇中的複合如何在 Hochschild 複形的 bar 構造上誘導出雙代數結構？
• RQ4 B(C(A,A)) 上的雙代數結構是否可從更高階範疇的複合推導而出，而非憑空定義？
• RQ5 透過此函子性框架，A-infinity 模與雙模如何與導出範疇及 Hochschild 上同調相關聯？

主要发现

• A-infinity 函子範疇 Fun∞(A,A′) 自然地被實現為 cocomplete augmented dg cocategories 範疇中內在 Hom 的 bar 構造。
• Fun∞ 中的複合雙函子產生一個態射 B(Fun∞(A′,A′′)) ⊗ B(Fun∞(A,A′)) → B(Fun∞(A,A′′))，使自同態余代數 End(1) 擁有雙代數結構。
• B(Fun∞(A,A)) 中恆等函子的自同態余代數 End(1) 同構於 A 的簡化 Hochschild 複形的 bar 構造 B(C(A,A))。
• B(C(A,A)) 上的雙代數結構明確由 brace 運算給出，此結果由函子範疇中的複合態射所確認。
• 此構造為 Hochschild bar 複形上的雙代數結構提供了概念性、函子性的解釋，此結構此前僅透過顯式公式已知。
• 該框架透過函子範疇 Fun∞(A, C(k)+) 將 A-infinity 模、雙模與 Hochschild 上同調統一於單一的 dg 範疇與同倫設定之中。