[论文解读] $(A_\infty,2)$-categories and relative 2-operads

Nathaniel Bottman, Shachar Carmeli|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文引入了相对2-Operad的概念，证明了2-结合多面体相对于结合多面体构成此类结构。定义了拓扑和链复形设定下的$(A_\infty,2)$-范畴与代数，并为连续映射构造了一族$\theta(A\to X)$代数，其特殊情形包括$\Omega^2X$和$\Omega A \times \Omega A$。

ABSTRACT

We define the notion of a 2-operad relative to an operad, and prove that the 2-associahedra form a 2-operad relative to the associahedra. Using this structure, we define the notions of an $(A_\infty,2)$-category and $(A_\infty,2)$-algebra in spaces and in chain complexes over a ring. Finally, we show that for any continuous map $A o X$, we can associate an $(A_\infty,2)$-algebra $θ(A o X)$ in $ extsf{Top}$, which specializes to $θ( ext{pt} o X) = Ω^2 X$ and $θ(A o ext{pt}) = ΩA imes ΩA$.

研究动机与目标

• 定义一种新的代数结构——相对2-Operad，以推广用于高阶范畴结构的Operad。
• 确立2-结合多面体（其实现为分层空间）构成相对于结合多面体的相对2-Operad。
• 利用此相对Operad框架，在拓扑范畴与链复形范畴中定义$(A_\infty,2)$-范畴与代数。
• 为连续映射$A\to X$构造一族代数$\theta(A\to X)$，统一环路空间的构造。

提出的方法

• 将相对2-Operad定义为一个Operad $P_r = \overline{\mathcal{M}}_r$（结合多面体）与一组空间$Q_{\mathbf{n}} = \overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}}$（2-结合多面体）的组合，配备满足相容性条件的遗忘映射与粘合映射。
• 通过巫师曲线对2-结合多面体进行分层实现，定义遗忘映射$\pi: \overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}} \to \overline{\mathcal{M}}_r$与树对的递归粘合映射$\Gamma_{2T}$。
• 通过为每个$r$元组$\mathbf{n} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^r \setminus \{\mathbf{0}\}$分配一个以$\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}}$为指标的态射空间，在相对2-Operad上构造一个范畴。
• 通过在2-结合多面体上使用奇异链$C_*(Q_{\mathbf{m}})$，定义$R$-线性$(A_\infty,2)$-范畴，其复合映射满足涉及纤维积与亚历山大-惠特尼映射的结合性图。
• 将$\widetilde{(A_\infty,2)}$-代数$\theta(A\to X)$定义为满足$A$中边界条件的映射$[0,1]^2 \to X$的集合，推广了$\Omega^2X$与$\Omega A \times \Omega A$。
• 使用$2\text{Cube}_{\mathbf{n}}$的同伦类型作为$\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}}$的模型，暗示在未来的相对2-Operad模型范畴中存在同伦等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 2-结合多面体能否被赋予相对于结合多面体的协调Operad结构？
• RQ2 何种正确的Operad推广能捕捉$(A_\infty,2)$-范畴中的高阶范畴复合？
• RQ3 如何利用此相对Operad框架在拓扑与链复形设定中定义$(A_\infty,2)$-代数与范畴？
• RQ4 映射$A\to X$的构造$\theta(A\to X)$的同伦意义是什么？
• RQ5 $(\text{2Cube}_{\mathbf{n}})$与$(\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}})$在适当的模型范畴中是否同伦等价？

主要发现

• 2-结合多面体$\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}}$构成相对于结合多面体$\overline{\mathcal{M}}_r$的相对2-Operad，其遗忘映射与递归粘合映射满足相容性条件。
• 构造$\theta(A\to X)$在Top中产生一个$\widetilde{(A_\infty,2)}$-代数，其中$\theta(\text{pt} \to X) = \Omega^2X$且$\theta(A \to \text{pt}) = \Omega A \times \Omega A$。
• 一个$R$-线性$(A_\infty,2)$-范畴被定义为在相对2-Operad$(\overline{\mathcal{M}}_r, \overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}})$上的$R$-线性范畴，其复合映射满足涉及奇异链与纤维积的交换图。
• 相对2-Operad结构通过遗忘映射$\pi: \overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}} \to \overline{\mathcal{M}}_r$与稳定树对的递归粘合映射$\Gamma_{2T}$形式化。
• 引入了2-立方体$({\rm 2Cube}_{\mathbf{n}})$作为相对2-Operad的第二个例子，其与小立方体Operad密切相关。
• 作者猜想$(\text{2Cube}_{\mathbf{n}})$与$(\overline{2\mathcal{M}}_{\mathbf{n}})$在未来的相对2-Operad模型范畴中同伦等价。