[论文解读] A Jump Type SDE Approach to Positive Self-Similar Markov Processes

Leif Doering, Mátyás Barczy|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 44被引用 14

一句话总结

本文提出一种跳型随机微分方程（SDE）方法，用于构建正自相似马尔可夫过程（pssMps），提供了一个新框架，通过将过程嵌入跳扩散SDE中，扩展了Lamperti变换。关键贡献在于提出了一个适定的SDE公式，可直接构造pssMps，包括当关联的Lévy过程为非正则时在零点连续重启的类型。

ABSTRACT

We present a new approach to positive self-similar Markov processes (pssMps) by reformulating Lamperti's transformation via jump type SDEs. As applications, we give direct constructions of pssMps (re)started continuously at zero if the Lamperti transformed Levy process is spectrally negative. Our paper can be seen as a continuation of similar studies for continuous state branching processes but the approach seems to be more fruitful in the context of pssMps.

研究动机与目标

• 开发一种基于SDE的新框架，用于构造正自相似马尔可夫过程（pssMps），以克服Lamperti变换的局限性。
• 解决从零开始定义pssMps的挑战，特别是当Lamperti变换后的Lévy过程为非正则时。
• 建立跳型SDE表示在pssMps上的适定性，确保强马尔可夫性质和自相似性。
• 通过随机分析提供pssMps（在零点连续重启）的直接概率构造，避免Lamperti表示法在路径层面的限制。

提出的方法

• 通过Lamperti变换使用时间改变的Lévy过程构建pssMps的跳型SDE，系数由变换后过程的Lévy过程导出。
• 通过Lévy测度 $\Pi^a$ 和吸收率 $q$ 定义具有状态依赖跳跃强度和漂移的SDE，用于吸收情形。
• 应用Jacod和Shiryaev（2003）的定理IX.4.8，证明与SDE相关的局部鞅问题的适定性。
• 通过利用 $\xi$ 的非正则性质，确保系数的连续性和可积性，从而保证 $\int_{\mathbb{R}}(\mathsf{e}^{u}-1)^2\Pi^a(\mathsf{d}u) < \infty$。
• 使用依赖于初值 $z \geq 0$ 的时齐系数 $K^z(y,\cdot)$、$b^z(y)$ 和 $c^z(y)$，并通过设为零的方式将定义扩展至 $y < 0$。
• 通过控制收敛定理和一致可积性验证鞅问题的条件，特别关注 $K^0(y,\{ |v| > b \})$ 在 $b \to \infty$ 时的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个跳型SDE，以实现从零点直接构造正自相似马尔可夫过程（pssMps）？
• RQ2 如何通过SDE重述Lamperti变换，以包含在零点吸收并连续重启的过程？
• RQ3 在关联Lévy过程为非正则时，何种条件可确保此类跳型SDE在pssMps上的适定性？
• RQ4 当Lamperti过程具有有限寿命（以速率 $q > 0$ 吸收）时，SDE框架是否仍能产生强马尔可夫过程？
• RQ5 SDE方法是否在允许路径在零点吸收后继续延伸的同时，保持自相似性和马尔可夫性质？

主要发现

• 本文建立了适定的跳型SDE用于pssMps，其系数由Lévy过程 $\xi$ 及其通过Lamperti变换得到的时间改变版本导出。
• 当 $\xi$ 为非正则时，SDE系数 $b^z(y)$、$c^z(y)$ 和 $K^z(y,\cdot)$ 在 $y \geq 0$ 上连续，确保唯一强解的存在性。
• SDE允许即使从零点开始也能直接构造pssMps，克服了Lamperti表示法在 $z = 0$ 处失效的局限。
• SDE框架确保过程在零点被吸收，且 $\mathbb{P}^\dagger_0$-律为零过程，0 成为陷阱态。
• 跳跃测度 $K^z(y,\cdot)$ 通过 $r \in (0,\infty)$ 和Lévy测度 $\Pi^a$ 显式定义，有限寿命情形包含吸收项 $q$。
• 当 $b \to \infty$ 时，$K^0(y,\{ |v| > b \})$ 在 $y \in [0,N]$ 上一致趋于零，确认紧致性并满足鞅问题的条件。