[论文解读] A Kalman Filtering approach of improved precision for fault diagnosis in distributed parameter systems

Gerasimos Rigatos|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2013

Fault Detection and Control Systems参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种无导数的非线性卡尔曼滤波方法，用于求解由一维非线性波动PDE控制的分布式参数系统的故障诊断。通过利用微分平坦性理论将PDE转换为线性规范形式，该方法能够在不计算雅可比矩阵的情况下，通过标准卡尔曼滤波实现精确的状态估计，并利用残差的局部统计卡方（$χ^2$）检验，实现对小于1%参数变化的早期检测。

ABSTRACT

The Derivative-free nonlinear Kalman Filter is proposed for state estimation and fault diagnosis in distributed parameter systems and particularly in dynamical systems described by partial differential equations of the nonlinear wave type. At a first stage, a nonlinear filtering approach for estimating the dynamics of a 1D nonlinear wave equation, from measurements provided from a small number of sensors is developed. It is shown that the numerical solution of the associated partial differential equation results into a set of nonlinear ordinary differential equations. With the application of diffeomorphism that is based on differential flatness theory it is shown that an equivalent description of the system is obtained in the linear canonical (Brunovsky) form. This transformation enables to obtain local estimates about the state vector of the system through the application of the standard Kalman Filter recursion. At a second stage, the local statistical approach to fault diagnosis is used to perform fault diagnosis for the distributed parameters system by processing with elaborated statistical tools the differences (residuals) between the output of the Kalman Filter and the measurements obtained from the distributed parameter system. Optimal selection of the fault threshold is succeeded by using the local statistical approach to fault diagnosis. The efficiency of the proposed filtering approach for performing fault diagnosis in distributed parameters systems is confirmed through simulation experiments.

研究动机与目标

• 解决由非线性PDE（特别是波动型方程）描述的分布式参数系统中的状态估计与故障诊断挑战。
• 克服传统扩展卡尔曼滤波在无限维系统中固有的计算复杂性与数值误差问题。
• 在仅使用少量传感器测量的情况下，实现对分布式系统中故障的精确检测与隔离。
• 开发一种避免雅可比矩阵计算与基于泰勒展开的非线性滤波中常见截断误差的方法。
• 通过卡尔曼滤波残差的统计处理，实现对早期参数变化的检测。

提出的方法

• 使用数值方法将非线性PDE在空间上离散化为一组非线性ODE。
• 应用微分平坦性理论，推导出微分同胚，将非线性ODE转换为线性规范（布伦夫斯科）形式。
• 对线性化系统应用标准卡尔曼滤波递推算法，实现在无需雅可比矩阵情况下的精确状态估计。
• 通过将卡尔曼滤波输出与分布式系统实际传感器测量值进行比较，生成残差。
• 采用局部统计故障诊断方法，利用$χ^2$检验处理这些残差，以检测参数偏差并隔离故障参数。
• 利用卡尔曼滤波输出的ARMAX模型表达估计误差动态，通过基于回归的创新分析实现统计故障检测。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效将无导数的非线性卡尔曼滤波应用于由一维非线性波动PDE描述的分布式参数系统的状态估计？
• RQ2 能否利用微分平坦性理论将非线性PDE转换为适合标准卡尔曼滤波的线性规范形式？
• RQ3 所提出的方法是否通过避免雅可比矩阵计算与截断误差，实现了比扩展卡尔曼滤波更高的估计精度？
• RQ4 局部统计方法能否以高灵敏度检测PDE模型中的早期参数变化？
• RQ5 该方法能否隔离出PDE中发生偏差的具体参数？

主要发现

• 所提出的无导数非线性卡尔曼滤波器成功地仅使用少量传感器，即实现了对一维非线性波动PDE状态的估计。
• 该方法避免了计算雅可比矩阵与偏导数，从而降低了计算复杂度与数值误差。
• 采用$χ^2$检验的局部统计方法检测到了PDE系数$K$中最小达其标称值0.5%的参数变化，且对小于1%的偏差，检验统计量超过阈值数倍。
• $χ^2$检验优于归一化平方误差与平均误差检验，因其引入了建模误差的导数，从而实现更早的故障检测。
• 该方法成功隔离出导致滤波估计与实际测量之间偏差的具体参数（$K$）。
• 仿真结果证实了该方法在检测与隔离由非线性波动PDE控制的分布式参数系统中参数变化方面的有效性。