[论文解读] A KAM type theorem for systems with round-off errors

Michael Blank, Tyll Krüger+1 more|ArXiv.org|Jun 4, 1997

Fault Detection and Control Systems参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文通过为带有舍入误差的离散化映射构造光滑的上下界，建立了适用于扭曲映射的KAM型定理。利用Moser关于光滑摄动的定理，证明了即使舍入误差具有非光滑性，该离散化系统的所有轨迹最终仍是周期性的。

ABSTRACT

Perturbations due to round-off errors in computer modeling are discontinuous and therefore one cannot use results like KAM theory about smooth perturbations of twist maps. We elaborate a special approximation scheme to construct two smooth periodic on the angle perturbations of the twist map, bounding the discretized map from above and from below. Using the well known Moser's theorem we prove the existence of invariant curves for these smooth approximations. As a result we are able to prove that any trajectory of the discretized twist map is eventually periodic. We discuss also some questions, concerning the application of the intersection property in Moser's theorem and the generalization of our results for the twist map in Lobachevski plane.

研究动机与目标

• 解决在计算机模拟中对具有不连续舍入误差的系统应用KAM理论的挑战。
• 克服经典KAM理论要求光滑摄动的局限性，而舍入误差并不满足此条件。
• 提出一种新颖的逼近方案，利用光滑周期函数对离散化扭曲映射的上下界进行界定。
• 在这些光滑逼近中建立不变曲线的存在性，以推断原离散系统的动力学性质。
• 证明离散化映射的轨迹是最终周期性的，这是混沌系统中数值稳定性的关键结果。

提出的方法

• 构造扭曲映射的两个光滑周期摄动，分别作为带有舍入误差的离散化映射的上下界。
• 利用舍入误差的结构定义分段常数摄动，并通过具有可控误差界的小幅光滑函数对其进行逼近。
• 将Moser的KAM定理应用于这些光滑的上下界逼近，证明不变曲线的存在性。
• 利用逼近在旋转下的不变性，确保拟周期轨道的存在性。
• 利用上下界之间的夹逼性质，推断原离散化映射也必然表现出稳定且周期性的行为。
• 讨论Moser定理中交集性质的适用性及其对不变曲线构造的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将KAM型结果推广到数值模拟中具有不连续舍入误差的系统？
• RQ2 如何构造光滑逼近，以界定具有非光滑摄动的离散化扭曲映射？
• RQ3 利用光滑KAM理论，可从离散化系统中推断出哪些动力学性质，例如周期性？
• RQ4 在逼近不连续映射时，Moser定理中的交集性质在多大程度上可以适用？
• RQ5 该结果能否推广到非欧几里得空间（如洛巴切夫斯基平面）上的扭曲映射？

主要发现

• 作者成功构造了带有舍入误差的离散化扭曲映射的光滑周期上下界。
• 通过在这些光滑逼近上应用Moser的KAM定理，证明了有界系统中不变曲线的存在性。
• 作为结果，证明了离散化扭曲映射的所有轨迹均为最终周期性。
• 该方法表明，即使存在不连续摄动，也可通过光滑逼近推断出稳定且类似拟周期的行为。
• 该方法可推广至更一般的情形，包括洛巴切夫斯基平面上的扭曲映射，尽管仍需进一步分析。
• 该构造在保留原映射本质动力学特性的同时，使得经典KAM理论得以应用。