[论文解读] A Koopman-based framework for forecasting the spatiotemporal evolution of chaotic dynamics with nonlinearities modeled as exogenous forcings

Mohammad Amin Khodkar, Pedram Hassanzadeh+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 49被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于Koopman的、数据驱动的框架，将混沌时空系统中的非线性行为建模为外部扰动，从而实现对高维混沌动力学的高精度短期预测。通过使用延迟嵌入的向量值可观测量和线性Koopman算子近似，该方法在多个李雅普诺夫 timescale 内对Kuramoto-Sivashinsky方程和二维顶盖驱动流等混沌系统实现了高精度预测。

ABSTRACT

We introduce a data-driven method and shows its skills for spatiotemporal prediction of high-dimensional chaotic dynamics and turbulence. The method is based on a finite-dimensional approximation of the Koopman operator where the observables are vector-valued and delay-embedded, and the nonlinearities are treated as external forcings. The predictive capabilities of the method are demonstrated for well-known prototypes of chaos such as the Kuramoto-Sivashinsky equation and Lorenz-96 system, for which the data-driven predictions are accurate for several Lyapunov timescales. Similar performance is seen for two-dimensional lid-driven cavity flows at high Reynolds numbers.

研究动机与目标

• 开发一种针对高维、混沌时空系统的数据驱动预测框架，其控制方程计算成本过高或部分未知。
• 克服传统线性模型在捕捉被非线性相互作用抑制的不稳定模态方面的局限性。
• 实现对极端事件和复杂动力学（如Kuramoto-Sivashinsky方程和高雷诺数顶盖驱动流）的高精度短期预测。
• 利用延迟嵌入和Koopman算子理论，构建一个稳定、有限维的线性模型，通过外部扰动捕捉非线性动力学。

提出的方法

• 该方法使用延迟嵌入的向量值可观测量表示状态空间，增强在有限线性框架中捕捉非线性动力学的能力。
• 系统中的非线性项被视为外部扰动，使得Koopman算子可近似为一个线性时不变系统。
• 通过在延迟嵌入数据上应用动态模式分解（DMD），构建Koopman算子的有限维近似，实现高效计算。
• 模型在历史数据上进行训练，以学习线性动力学和扰动演化，最优参数通过验证集选择。
• 该方法采用硬阈值准则截断Koopman子空间，确保模型稳定性和预测精度。
• 扰动向量长度相对于状态向量进行缩放（p = αr），其中α通过经验优化以获得最佳性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 当非线性项被建模为外部扰动时，基于线性Koopman的框架能否准确预测混沌时空系统？
• RQ2 向量值可观测量的延迟嵌入在高维混沌系统中如何提升Koopman算子近似的预测能力？
• RQ3 该方法在多大程度上能够预测湍流流动（如Kuramoto-Sivashinsky方程和二维顶盖驱动流）中的极端事件和长期统计特征？
• RQ4 为实现稳定且准确的预测，延迟嵌入维数（q）和降维子空间大小（r）的最佳配置是什么？
• RQ5 与SINDy或LSTM等现有数据驱动方法相比，该方法在多个李雅普诺夫 timescale 内预测混沌动力学的表现如何？

主要发现

• 该方法在多个李雅普诺夫 timescale 内对Kuramoto-Sivashinsky方程和Lorenz-96系统实现了高精度预测，表现出对混沌动力学的强鲁棒性。
• 对于高雷诺数下的二维顶盖驱动流，该模型成功捕捉了时空演化和分岔行为，即使在湍流状态下亦然。
• 最优延迟嵌入维数q与系统的去相关时间尺度τd相关，但通常显著低于τd/τ。
• 当降维子空间大小r接近硬阈值准则时，模型保持稳定且准确；但当r过大时，模型会发散。
• 当设置为p = αr且α通过经验确定以最大化预测精度时，扰动向量长度p最为有效。
• 该框架优于标准线性模型，能够捕捉被非线性稳定化的不稳定模态，避免了无界增长，同时保持了预测保真度。