[论文解读] A Korn-Poincaré-type inequality for special functions of bounded deformation

Manuel Friedrich|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

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一句话总结

该论文通过在小矩形并集上对位移场进行修改，以控制其与无穷小刚性运动的距离，在平面设定下为 SBD² 中的函数建立了类 Korn-Poincaré 不等式。关键结果以弹性能和表面能表示该距离的界，从而在变分断裂模型中实现紧致性估计。

ABSTRACT

We present a Korn-Poincaré-type inequality in a planar setting which is in the spirit of the Poincaré inequality in SBV due to De Giorgi, Carriero, Leaci. We show that for each function in SBD$^2$ one can find a modification which differs from the original displacement field only on a small set such that the distance of the modification from a suitable infinitesimal rigid motion can be controlled by an appropriate combination of the elastic and the surface energy. In particular, the result can be used to obtain compactness estimates for functions of bounded deformation.

研究动机与目标

• 为解决有界变形（BD）函数中导数的反对称部分缺乏控制的问题，该问题阻碍了变分断裂模型中的紧致性。
• 克服标准 Korn-Poincaré 不等式无法以与 Griffith 型能量泛函相容的方式控制跳跃高度的局限性。
• 表明仅在小矩形集合上修改的位移场，其 L² 范数可由弹性能和表面能控制。
• 建立关于能量泛函 ∫|e(u)|²dx + H¹(Jᵤ) 的无穷小刚性运动距离的定量估计，这对 SBD² 中的紧致性至关重要。
• 为通过能量控制的断裂集和位移场修改，推导几何线性断裂模型中的紧致性结果提供框架。

提出的方法

• 引入一种修改过程，仅在覆盖断裂集的有限个平行矩形并集上改变位移场，且总直径受能量项控制。
• 通过多方向（例如垂直和对角线方向）的截面法估计边界迹，并控制边界上位移的 L² 范数。
• 应用 Hölder 不等式和离散 Jensen 型估计，以应变的 L² 范数和总跳跃长度表示跳跃贡献的界。
• 在边界分量周围构造邻域（矩形和十二边形），以控制迹估计，尤其针对投影小或分量小的情况。
• 采用递归算法识别并修改小的边界分量，确保修改集合的总测度保持较小。
• 通过结合能量界和迹估计，推导出最终的类 Korn-Poincaré 不等式（1.4），表明修改后的函数在 L² 范数下接近无穷小刚性运动。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 SBD² 中，函数与无穷小刚性运动的距离能否通过弹性能和表面能的组合控制，至多允许一个极小的例外集合？
• RQ2 是否可能在 SBD² 函数的小矩形集合上进行修改，使得修改后的函数在 L² 范数下接近刚性运动，同时保持能量界？
• RQ3 如何控制边界上投影小或分量小的迹估计，以推导全局 L² 有界性？
• RQ4 在平面 SBD² 函数中，L² 范数到刚性运动的距离与弹性能和总跳跃长度的定量依赖关系是什么？
• RQ5 能否在 SBD² 中建立一个与能量泛函 ∫|e(u)|²dx + H¹(Jᵤ) 兼容的类 Korn-Poincaré 不等式，即使导数的反对称部分无法控制？

主要发现

• 对任意 ε > 0 和 θ > 0，存在常数 C(θ)，使得位移场可在总直径受 (1+θ)(H¹(Jᵤ) + ε⁻¹‖e(u)‖²_{L²}) 控制的矩形并集 E 上被修改。
• 修改集合 E 的测度满足 |E| ≤ ∑(diam(Rⱼ))²，确保其相对于能量项的测度极小。
• 在缩小的正方形 ̃Q 上，修改后的函数 u − (A· + b) 的 L² 范数被控制为 Cμ²(‖e(u)‖²_{L²} + εH¹(Jᵤ))，表明其受能量泛函控制。
• 通过选择 ε = ‖e(u)‖²_{L²}/H¹(Jᵤ)，L² 范数到无穷小刚性运动的距离由能量泛函控制，从而得到类 Korn-Poincaré 不等式。
• 该结果意味着，若 Griffith 能量泛函有统一有界性，则在小修改后可实现紧致性，从而在 SBD² 中推导出紧致性估计。
• 该方法成功通过仅修改极小集合，控制了 SBD² 函数在裂纹附近的性质，即使在标准 Korn 不等式因跳跃高度不可控而失效时亦成立。