[论文解读] A Kronecker limit type formula for elliptic Eisenstein series

Anna-Maria von Pippich|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文建立了广义第一类Fuchsian群上椭圆Eisenstein级数的亚纯延拓，计算了其极点与留数，并推导出Kronecker极限型公式。通过谱理论及与自守Green函数的关系，证明了在 $ s = 0 $ 处的Laurent展开；对于 $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $，将极限函数用全纯模形式表示。

ABSTRACT

Let $Γ\subset\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{R})$ be a Fuchsian subgroup of the first kind acting by fractional linear transformations on the upper half-plane $\mathbb{H}$, and let $M=Γ\backslash\mathbb{H}$ be the associated finite volume hyperbolic Riemann surface. Associated to any cusp of $M$, there is the classically studied non-holomorphic (parabolic) Eisenstein series. In 1979, Kudla and Millson studied non-holomorphic (hyperbolic) Eisenstein series associated to any closed geodesic on $Γ\backslash\mathbb{H}$. In 2004, Jorgenson and Kramer introduced so-called elliptic Eisenstein series associated to any elliptic fixed point of $M$. In the present article, we prove the meromorphic continuation of the elliptic Eisenstein series and we explicitly compute its poles and residues. Further, we derive a Kronecker limit type formula for elliptic Eisenstein series for general $Γ$. Finally, for the full modular group $\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{Z})$, we give an explicit formula for the Kronecker's limit functions in terms of holomorphic modular forms.

研究动机与目标

• 建立任意第一类Fuchsian子群 $ \Gamma $ 上椭圆Eisenstein级数 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{w}(z,s) $ 到整个复 $ s $-平面的亚纯延拓。
• 显式计算椭圆Eisenstein级数 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{w}(z,s) $ 的极点与留数。
• 推导椭圆Eisenstein级数的Kronecker极限型公式，类似于经典Parabolic Eisenstein级数的Kronecker极限公式。
• 为全模群 $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ 提供Kronecker极限函数的显式公式，以全纯模形式表示。

提出的方法

• 利用双曲黎曼曲面 $ M = \Gamma \backslash \mathbb{H} $ 上的谱理论分析椭圆Eisenstein级数。
• 建立椭圆Eisenstein级数与在 $ M $ 上平方可积的椭圆Poincaré级数之间的关系，通过谱展开实现亚纯延拓。
• 使用自守Green函数 $ G^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) $，并通过合流超几何函数与双曲距离，推导出其与椭圆Eisenstein级数之间的关键恒等式。
• 应用Gamma函数的倍乘公式，并利用超几何恒等式 $ F(s,s;2s;z) = (1 - z/2)^{-s} F(s/2, (s+1)/2; s+1/2; z^2/(2-z)^2) $，将Green函数表示为 $ \cosh(d_{\mathrm{hyp}}(z,w))^{-s-2k} $ 的形式。
• 推导出如下谱展开形式：$ \mathcal{G}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) = \frac{2^s}{4\pi} \frac{\Gamma(s)^2}{\Gamma(2s)} \sum_{k=0}^\infty \frac{(s/2)_k (s/2 + 1/2)_k}{k! (s + 1/2)_k} P^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z, s + 2k) $，将Green函数与Eisenstein级数联系起来。
• 利用关系式 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) - \frac{2^{s+1}\sqrt{\pi} \Gamma(s+1/2)}{\Gamma(s)} G^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(s/2)_k a_k(s)}{k!} P^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z, s + 2k) $ 分析 $ s = 0 $ 处的Laurent展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般第一类Fuchsian子群 $ \Gamma $，椭圆Eisenstein级数 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{w}(z,s) $ 的亚纯延拓是什么？
• RQ2 椭圆Eisenstein级数 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{w}(z,s) $ 的极点位置及其留数是什么？
• RQ3 能否为椭圆Eisenstein级数推导出类似于经典Parabolic Eisenstein级数Kronecker极限公式的Kronecker极限型公式？
• RQ4 对于全模群 $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $，Kronecker极限函数能否显式地用全纯模形式表示？

主要发现

• 椭圆Eisenstein级数 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) $ 在整个复 $ s $-平面上具有亚纯延拓。
• 通过谱方法显式确定了 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) $ 的极点，并计算了其留数。
• 建立了Kronecker极限型公式：在 $ s = 0 $ 处，Laurent展开满足 $ \mathcal{E}^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) - \frac{2^{s+1}\sqrt{\pi} \Gamma(s+1/2)}{\Gamma(s)} G^{\mathrm{ell}}_{e_j}(z,s) = O(s^2) $，表明其在 $ s = 0 $ 处解析。
• 对于 $ \Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $，Kronecker极限函数以全纯模形式表示，提供了Laurent展开常数项的显式公式。
• 通过合流超几何级数与双曲距离，建立了椭圆Eisenstein级数与自守Green函数之间的关系，导出了包含 $ \cosh(d_{\mathrm{hyp}}(z,w))^{-s-2k} $ 的谱展开。
• 证明依赖于恒等式 $ g_s(z,w) = \frac{2^s}{4\pi} \frac{\Gamma(s)^2}{\Gamma(2s)} \sum_{k=0}^\infty \frac{(s/2)_k (s/2 + 1/2)_k}{k! (s + 1/2)_k} \cosh(d_{\mathrm{hyp}}(z,w))^{-s-2k} $，该式将Green函数与Eisenstein级数联系起来。