[论文解读] A Lagrange-Galerkin scheme with a locally linearized velocity for the Navier--Stokes equations

Masahisa Tabata, Shinya Uchiumi|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种新颖的Lagrange-Galerkin有限元格式用于Navier-Stokes方程，通过在后向欧拉法中使用局部线性化的速度近似来追踪粒子轨迹，从而消除了数值求积误差。该格式确保了精确实现，实现了已证明的稳定性和最优收敛性，对$\mathrm{P}_{2}/\mathrm{P}_{1}$和$\mathrm{P}_{1}^{+}/\mathrm{P}_{1}$单元，均获得了$\ell^{\infty}(H^{1})\times\ell^{2}(L^{2})$误差估计。

ABSTRACT

We present a Lagrange--Galerkin scheme free from numerical quadrature for the Navier--Stokes equations. Our idea is to use a locally linearized velocity and the backward Euler method in finding the position of fluid particle at the previous time step. Since the scheme can be implemented exactly as it is, the theoretical stability and convergence results are assured. While the conventional Lagrange--Galerkin schemes may encounter the instability caused by numerical quadrature errors, the present scheme is genuinely stable. For the $\pk 2/\pk 1$- and $\mini$-finite elements optimal error estimates are proved in $\ell^\infty(H^1) imes \ell^2(L^2)$ norm for the velocity and pressure. We present some numerical results, which reflect these estimates and also show the genuine stability of the scheme.

研究动机与目标

• 解决传统Lagrange-Galerkin格式中由于对复合函数项进行数值求积而引起的不稳定性问题。
• 开发一种无需依赖数值积分即可实现方法精确化的格式。
• 在实际的有限元离散化下，证明速度和压力在自然范数下的最优收敛速率。
• 展示该格式在高雷诺数流动中的鲁棒性，其中标准格式常因振荡而失效。

提出的方法

• 引入局部线性化速度近似，以替代求解粒子轨迹的ODE系统。
• 使用后向欧拉法，基于局部线性化速度计算上一时间步的特征曲线起点。
• 利用方法特征线构造Navier-Stokes方程的弱形式，采用近似轨迹映射。
• 使用$\mathrm{P}_{2}/\mathrm{P}_{1}$和$\mathrm{P}_{1}^{+}/\mathrm{P}_{1}$有限元分别对速度和压力进行离散化。
• 通过利用近似速度映射的分片线性结构，确保所有项的精确积分。
• 推导并证明速度和压力在$\ell^{\infty}(H^{1})\times\ell^{2}(L^{2})$范数下的最优误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种Lagrange-Galerkin格式，避免数值求积误差的同时保持最优收敛速率？
• RQ2 在后向欧拉法中使用局部线性化速度是否能为对流主导的Navier-Stokes方程提供稳定且精确的格式？
• RQ3 所提出的格式在$\ell^{\infty}(H^{1})$和$\ell^{2}(L^{2})$范数下，对$\mathrm{P}_{2}/\mathrm{P}_{1}$和$\mathrm{P}_{1}^{+}/\mathrm{P}_{1}$单元的收敛阶数是多少？
• RQ4 与采用数值求积的标准Lagrange-Galerkin格式相比，该格式在高雷诺数流动中的表现如何？
• RQ5 在lid-driven cavity flow等基准问题中，该格式能否在无振荡的情况下保持稳定性和准确性？

主要发现

• 对于$\mathrm{P}_{2}/\mathrm{P}_{1}$和$\mathrm{P}_{1}^{+}/\mathrm{P}_{1}$单元，在$\Delta t = h^2$条件下，该格式在速度的$\ell^{\infty}(H^{1})$范数下达到$O(h^2)$的最优收敛速率，在压力的$\ell^{2}(L^{2})$范数下也达到$O(h^2)$的收敛速率。
• 对于$\mathrm{P}_{1}^{+}/\mathrm{P}_{1}$单元，当$\Delta t = h^2$时，速度在$\ell^{\infty}(L^{2})$范数下也达到$O(h^2)$的收敛速率。
• 当$\Delta t = h^3$时，$\mathrm{P}_{1}^{+}/\mathrm{P}_{1}$情形下速度在$\ell^{\infty}(L^{2})$范数下达到$O(h^3)$的收敛速率，与理论预期一致。
• 数值实验表明，即使在高雷诺数（$\nu = 10^{-4}$和$10^{-5}$）下，该格式仍保持稳定且无振荡，而标准格式则表现出虚假振荡。
• 在lid-driven cavity flow问题中，该格式表现出鲁棒性能，在$\nu = 10^{-4}$和$10^{-5}$时，$t^n = 8$处的速度分量未观察到任何不稳定或振荡现象。
• 数值结果中观察到的收敛阶数与理论预测高度吻合，验证了误差估计的正确性。