[论文解读] A Lagrangian fluctuation-dissipation relation for scalar turbulence

Theodore D. Drivas, Gregory L. Eyink|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 5

一句话总结

本文推导出一个精确的拉格朗日 fluctuation-dissipation 关系，将标量耗散与反向轨迹采样得到的标量输入方差联系起来，证明了在湍流中出现异常标量耗散，要求粒子轨迹具有自发随机性。对于被动标量，在无壁面条件下，自发随机性与异常耗散被证明是完全等价的。

ABSTRACT

An exact is derived between scalar dissipation due to molecular diffusivity and the randomness of stochastic trajectories for flows without bounding walls. This Lagrangian fluctuation-dissipation relation equates the scalar dissipation for either passive or active scalars to the variance of scalar inputs associated to initial scalar values and internal scalar sources, as those are sampled backward in time by the stochastic trajectories. As an important application, we reconsider the phenomenon of Lagrangian spontaneous or persistent non-determinism of particle trajectories in the limit of vanishing viscosity and diffusivity. Previous work on the Kraichnan (1968) model of turbulent scalar advection has shown that anomalous scalar dissipation is associated in that model to spontaneous stochasticity. There has been controversy, however, regarding the validity of this mechanism for scalars advected by an actual turbulent flow. We here completely resolve this controversy by exploiting the fluctuation-dissipation relation. For either a passive or active scalar advected by any divergence-free velocity field, including solutions of the incompressible Navier-Stokes equation, and away from walls, we prove that anomalous scalar dissipation requires spontaneous stochasticity. For passive scalars we prove furthermore that spontaneous stochasticity yields anomalous dissipation for suitable initial scalar distributions, so that the two phenomena are there completely equivalent. These points are illustrated by numerical results from a database of homogeneous, isotropic turbulence, which provide both additional support to the results and physical insight into the representation of diffusive effects by stochastic particle trajectories.

研究动机与目标

• 建立壁面不存在的湍流中，标量耗散与拉格朗日轨迹统计之间严格联系。
• 解决长期存在的争议：即自发随机性是否能解释真实湍流中异常标量耗散。
• 证明对于被动标量，自发随机性与异常耗散完全等价。
• 利用同质各向同性湍流的数值模拟验证该机制。

提出的方法

• 推导出一个精确的拉格朗日形式的 fluctuation-dissipation 关系，将标量耗散与反向采样初始值和源标量值的方差联系起来。
• 将该关系应用于由无散速度场（包括纳维-斯托克斯方程解）驱动的被动标量和主动标量。
• 使用随机粒子轨迹表示扩散效应，从而实现对标量输入的反向时间采样。
• 证明异常标量耗散仅在粘度和扩散率趋于零的极限下，粒子轨迹表现出自发随机性时才可能发生。
• 在合适的初始条件下，证明了被动标量的自发随机性与异常耗散完全等价。
• 利用同质各向同性湍流数据库的数值数据验证了该理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 粒子轨迹的自发随机性是否能解释真实湍流中异常标量耗散？
• RQ2 通过自发随机性实现异常耗散的机制是否超越克赖奇南模型的适用范围？
• RQ3 拉格朗日 fluctuation-dissipation 关系能否用于证明异常耗散的必要条件？
• RQ4 对于被动标量，自发随机性与异常耗散是否等价？
• RQ5 随机粒子轨迹如何在湍流标量输运中表示扩散效应？

主要发现

• 在无壁面的湍流中，异常标量耗散仅当粒子轨迹在零粘度极限下表现出自发随机性时才可能发生。
• 对于被动标量，在合适的初始标量分布下，自发随机性与异常耗散完全等价。
• 所推导的 fluctuation-dissipation 关系为异常耗散提供了轨迹统计意义上的必要且充分条件。
• 同质各向同性湍流的数值模拟验证了理论预测，并阐明了随机轨迹在捕捉扩散效应中的作用。
• 该关系适用于由任意无散速度场（包括不可压缩纳维-斯托克斯方程解）驱动的被动标量和主动标量。
• 结果通过确立自发随机性不仅是克赖奇南模型等理想化模型的特征，而是真实湍流中不可或缺的基本要求，解决了先前的争议。