[论文解读] A Lagrangian Relaxation for the Maximum Stable Set Problem

Manoel Campêlo, Ricardo C. Corrêa|ArXiv.org|Mar 8, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于顶点代表的新型整数规划公式化方法，用于求解最大稳定集问题，通过拉格朗日松弛将问题分解为每个顶点对应的子问题。该方法在密集图上显著提升了分支定界法的性能，并实现了高效的多核并行加速——在8核处理器上最高达到3.43倍的加速比，证明了其在多核架构上的有效性。

ABSTRACT

We propose a new integer programming formulation for the problem of finding a maximum stable set of a graph based on representatives of stable sets. In addition, we investigate exact solutions provided by a Lagrangian decomposition of this formulation in which only one constraint is relaxed. Some computational experiments were carried out with an effective multi-threaded implementation of our algorithm in a multi-core system, and their results are presented.

研究动机与目标

• 提出一种基于稳定集顶点代表的新型整数规划公式化方法，用于求解最大稳定集问题。
• 研究拉格朗日分解在此公式化方法上的有效性，以实现精确求解。
• 在多核共享内存系统上实现并评估该算法的多线程、共享内存并行版本。
• 在多种图类型上与标准STAB(G)公式化方法进行性能对比。
• 评估图的密度和结构（如最大稳定集数量）对分解效率的影响。

提出的方法

• 使用稳定集的顶点代表对稳定集族进行划分，从而构建最大稳定集问题的公式化。
• 在拉格朗日分解中对每个顶点松弛一个约束，将原问题转化为最多n个子问题。
• 每个子问题对应于在由一个顶点及其邻接点诱导的子图中寻找最大稳定集。
• 采用分支定界框架，并在子问题上应用分离启发式算法以加强上下界。
• 使用Java的并发模型在多线程环境中实现算法，支持共享内存并行计算。
• 采用基于拉格朗日松弛所得上界引导的最优优先搜索策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 与标准STAB(G)公式化相比，基于代表的公式化在上下界质量与求解时间方面表现如何？
• RQ2 通过顶点代表实现的拉格朗日分解能否提升分支定界法在密集图上的性能？
• RQ3 所提出的算法在具有共享内存的多核系统上的可扩展性如何？
• RQ4 图的密度和结构（如最大稳定集数量）如何影响分解的有效性？
• RQ5 并行实现是否在不引入显著线程调度开销的前提下实现了显著的加速比？

主要发现

• 在密度≥30%的图上，基于代表的公式化优于STAB(G)，显著减少了密集实例的求解时间。
• 在8核处理器上，最高实现了3.43倍的加速比，尤其在C125.9和mann.a45等密集图上表现突出。
• 对于gen200.9.44图，与串行执行相比，并行实现仅探索了20%的节点，表明其具有更优的剪枝能力。
• 在某些图（如c-fat、brock、p-hat）上，探索的节点数略有增加，但因边界计算速度更快而得到补偿。
• Java线程调度机制引入的开销可忽略不计，从而实现了高效的并行化。
• 在mann.a45（高度密集图）上，该分解方法优于STAB(G)，归因于更有效的子问题分解。