[论文解读] A Lagrangian scheme for the incompressible Euler equation using optimal transport

Thomas Gallouët, Quentin Mérigot|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|May 2, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文通过结合 Arnold 在测度保持微分同胚空间中的测地线解释与 Brenier 的最优输运外蕴方法，提出了一种不可压缩 Euler 方程的拉格朗日数值格式。该方法利用半离散最优输运求解器通过惩罚项强制满足不可压缩性，实现了对光滑解的收敛，并在二维测试案例（包括 Beltrami 流、Kelvin-Helmholtz 不稳定性和 Rayleigh-Taylor 不稳定性）中表现出稳健性能。

ABSTRACT

We approximate the regular solutions of the incompressible Euler equation by the solution of ODEs on finite-dimensional spaces. Our approach combines Arnold's interpretation of the solution of Euler's equation for incompressible and inviscid fluids as geodesics in the space of measure-preserving diffeomorphisms, and an extrinsic approximation of the equations of geodesics due to Brenier. Using recently developed semi-discrete optimal transport solvers, this approach yields numerical scheme able to handle problems of realistic size in 2D. Our purpose in this article is to establish the convergence of these scheme towards regular solutions of the incompressible Euler equation, and to provide numerical experiments on a few simple testcases in 2D.

研究动机与目标

• 提出一种基于最优输运的拉格朗日数值格式，用于不可压缩 Euler 方程，通过最优输运保持不可压缩性。
• 建立该格式向 Euler 方程光滑解的理论收敛性。
• 在具有真实粒子数的基准二维问题上对格式进行数值验证。
• 将方法扩展至包含外力（如重力）的多相流问题。
• 展示该格式捕捉复杂流体不稳定性（如 Kelvin-Helmholtz 与 Rayleigh-Taylor 不稳定性）的能力。

提出的方法

• 该格式将不可压缩 Euler 方程解释为测度保持微分同胚空间中的测地线。
• 采用惩罚公式，通过到测度保持映射集合的平方距离强制满足不可压缩性约束。
• 利用最优输运通过 Brenier 的极分解定理计算到测度保持映射集合的距离。
• 半离散最优输运求解器计算拉盖尔胞及其质心，用于更新粒子位置与速度。
• 时间积分采用辛 Euler 格式，速度更新涉及拉盖尔胞位移的质心。
• 通过在速度更新方程中增加力项，将方法扩展至包含外力。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于最优输运的拉格朗日格式能否收敛至不可压缩 Euler 方程的光滑解？
• RQ2 该格式在标准二维流体动力学测试案例（如 Beltrami 流与不稳定性）中的表现如何？
• RQ3 当引入重力等外力时，该格式是否仍保持稳定与准确？
• RQ4 在大规模粒子数（如 300,000 个粒子）下，该格式能否维持几何与物理一致性？
• RQ5 粒子划分方式（规则划分与优化划分）的选择如何影响模拟的精度与动力学行为？

主要发现

• 在适当假设下，该数值格式可收敛至不可压缩 Euler 方程的光滑解，建立了理论收敛性。
• 该方法在单位正方形上成功模拟了 Beltrami 流，使用 N = 900 个粒子，且拉盖尔胞保持稳定与结构化。
• 在 Kelvin-Helmholtz 不稳定性模拟中，采用优化粒子划分的格式打破了对称性并形成涡旋，与物理预期一致，使用 N = 300,000 个粒子。
• 在重力作用下，使用 N = 50,000 个粒子的 Rayleigh-Taylor 不稳定性实验成功形成界面不稳定性，证实了该格式在多相流中的鲁棒性。
• Rayleigh-Taylor 案例的计算在单核笔记本电脑上耗时不足六小时，展示了其计算效率。