[论文解读] A Lagrangian with $E_8 imes E_8$ symmetry for the standard model and pre-gravitation I. -- The bosonic Lagrangian, and a theoretical derivation of the weak mixing angle

Sherry Raj, Tejinder Singh|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2022

Cosmology and Gravitation Theories被引用 9

一句话总结

本文提出了一种在分裂双四元数空间上具有未破缺 $E_8 \times E_8$ 对称性的矩阵值拉格朗日量，通过对称性自发破缺，从中涌现出标准模型规范群以及一种新型的前引力 $SU(3)_{\text{grav}} \times SU(2)_R \times U(1)_g$ 对称性。该理论从基本方程出发，以一种前量子、前时空的方式推导出弱混合角 $ \sin^2\theta_W \approx 0.24996$，为标准模型的一个关键参数提供了基础性推导。

ABSTRACT

Building on earlier work, we propose an elementary Lagrangian for the unification of the standard model with pre-gravitation, assumed to have an unbroken $E_8 imes E_8$ symmetry. The Lagrangian is patterned after the kinetic energy of a free particle in Newtonian dynamics, generalising it to the matrix-valued Lagrangian dynamics of a 2-brane on a split bioctonionic space. Symmetry breaking gives rise to the standard model quarks and leptons of three generations along with the known gauge interactions, and a novel right-handed counterpart $SU(3)_{grav} imes SU(2)_R imes U(1)_g$ identified as pre-gravitation. The goal of the present series of papers is to investigate if this pre-quantum, pre-spacetime matrix-valued Lagrangian dynamics can lead to the emergence of quantum field theory for the standard model, and classical general relativity, possibly with some additional corrections. In this paper we work out the bosonic part of the Lagrangian, and show how the anticipated 32 gauge bosons are recovered from the elementary Lagrangian. As an application, we show that the asymptotic low energy weak mixing angle $θ_W$ is given by a solution of the equation $1 = (1/2)\sqrt{ \cos(θ_{W}/2)}+ \sqrt {\sin(θ_{W}/2)}$, yielding $\sin^2θ_W \approx 0.24996$.

研究动机与目标

• 构建一个具有未破缺 $E_8 \times E_8$ 对称性的基本拉格朗日量，统一标准模型与前引力理论。
• 展示标准模型规范群以及一种新的前引力对称性如何通过 $E_8 \times E_8$ 的对称性自发破缺而涌现。
• 从底层的 $E_8 \times E_8$ 结构出发，理论上推导出弱混合角 $\theta_W$，而无需依赖实验输入。
• 基于八元数与分裂双四元数定义的高维旋量空间上的矩阵值拉格朗日动力学，建立一种前量子、前时空的动力学框架。

提出的方法

• 拉格朗日量被表述为在分裂双四元数空间上运动的2-膜的动能，将牛顿动力学推广至矩阵值动力学。
• 分裂双四元数空间上的狄拉克算符作为梯度算符，导出双线性形式，避免使用克莱因-高斯托普算符，同时保持 $E_8 \times E_8$ 对称性。
• 通过分支规则分析 $E_8 \times E_8$ 的对称性自发破缺：$E_8 \to SU(3)_{\text{Eucsp}} \times E_6$ 与 $E_8 \to SU(3)_{\text{spacetime}} \times E_6$，分别对应标准模型与前引力规范场的产生。
• 玻色子拉格朗日量由广义狄拉克算符平方的迹导出，编码了规范场及其相互作用。
• 弱混合角由方程 $1 = \frac{1}{2}\sqrt{\cos(\theta_W/2)} + \sqrt{\sin(\theta_W/2)}$ 推导得出，通过数值求解得到 $\sin^2\theta_W \approx 0.24996$。
• 该框架利用迹动力学与狄拉克算符本征值的自发局域化，将经典时空与量子场论作为涌现现象恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个具有未破缺 $E_8 \times E_8$ 对称性的基本拉格朗日量，是否能通过自发对称性破缺产生标准模型规范群与前引力规范结构？
• RQ2 在不依赖实验输入的前提下，如何在前量子、前时空的框架中从前提出发推导出弱混合角 $\theta_W$？
• RQ3 分裂双四元数几何在实现闵可夫斯基时空与标准模型对称性方面起到何种作用？
• RQ4 分裂双四元数空间上的狄拉克算符如何导致杨-米尔斯场与类似引力的相互作用的涌现？
• RQ5 广义狄拉克算符的本征值是否可通过自发局域化作为涌现经典时空的坐标？

主要发现

• 玻色子拉格朗日量由分裂双四元数空间上狄拉克算符平方的迹导出，编码了来自 $E_8 \times E_8$ 对称性的32个规范玻色子。
• 对称性破缺模式 $E_8 \to SU(3)_{\text{Eucsp}} \times E_6$ 导出标准模型规范群 $SU(3)_c \times SU(2)_L \times U(1)_Y$ 与三重态的左手费米子。
• 第二个 $E_8$ 的破缺为 $E_8 \to SU(3)_{\text{spacetime}} \times E_6$，产生前引力规范群 $SU(3)_{\text{grav}} \times SU(2)_R \times U(1)_g$ 与右手中微子（包括惰性中微子）的费米子。
• 弱混合角由方程 $1 = \frac{1}{2}\sqrt{\cos(\theta_W/2)} + \sqrt{\sin(\theta_W/2)}$ 推导得出，结果为 $\sin^2\theta_W \approx 0.24996$，与实验观测值高度一致。
• 该框架表明，量子场论与经典广义相对论可从更高维旋量空间（由八元数与分裂双四元数定义）上的更深层前量子动力学中涌现。