[论文解读] A Landscape of Hamiltonian Phase Spaces: on the foundations and generalizations of one of the most powerful ideas of modern science

Carlos Zapata-Carratalá|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 77被引用 3

一句话总结

本文通过将雅可比流形和接触流形重新解释为泊松结构与辛结构的带量纲类比，提出了一种无量纲的几何框架，将物理量纲通过线丛和带量纲代数直接嵌入形式体系中。核心贡献是通过一个哈密顿函子将无量纲配置空间（线丛）映射到接触相空间，从而在范畴论框架下自然地引入单位，实现了运动理论的显式量纲一致性。

ABSTRACT

In this thesis we revise the concept of phase space in modern physics and devise a way to explicitly incorporate physical dimension into geometric mechanics. A historical account of metrology and phase space is given to illustrate the disconnect between the theoretical physical models in use today and the formal treatment of units of measurement. Self-contained presentations of local Lie algebras, Lie algebroids, Poisson manifolds, line bundles and Jacobi manifolds are given. A unit-free manifold is defined as a generic line bundle over a smooth manifold that we interpret as a manifold whose ring of functions no longer has a preferred choice of a unit. This point of view allows us to implement physical dimension into geometric mechanics. Unit-free manifolds are shown to share many of the core structure of the category of ordinary smooth manifolds: Cartesian products, derivations as tangent vectors, jets as cotangent vectors, submanifolds and quotients. This allows to reinterpret the notion of Jacobi manifold as the unit-free analogue of Poisson manifolds. With this new language we rediscover known results about Jacobi maps, coisotropic submanifolds, Jacobi products and Jacobi reduction. We give a categorical formulation of the loose term 'canonical Hamiltonian mechanics' by defining the notions of theory of phase spaces and Hamiltonian functor. Conventional configuration spaces are then replaced by line bundles, called unit-free configuration spaces, and, they are shown to fit into a theory of phase spaces with a Hamiltonian functor given by the jet functor. Motivated by the algebraic structure of physical quantities in dimensional analysis, we define dimensioned groups, rings, modules and algebras by implementing an addition operation that is partially defined. Jacobi manfolds are shown to have associated dimensioned Poisson algebras and dimensioned coisotropic calculus.

研究动机与目标

• 解决理论力学与维度分析中实际使用物理单位之间的基础性脱节问题。
• 构建一种几何框架，将物理量纲内在地嵌入相空间的形式体系中，而非将其视为外部标注。
• 使用无量纲配置空间和将它们映射到接触流形的哈密顿函子，重新表述经典哈密顿力学。
• 通过引入带量纲环与代数（其中加法部分定义）建立物理量的范畴化与代数基础。
• 将雅可比几何确立为泊松几何的无量纲类比，从而将哈密顿力学推广至包含带量纲可观测量的情形。

提出的方法

• 引入无量纲流形的概念，即在光滑流形上定义的通用线丛，其函数环中无首选单位。
• 为无量纲流形发展完整的几何微积分，包括笛卡尔积、切丛与余切丛结构（通过导子与喷射），以及在群作用下的商结构。
• 定义一个哈密顿函子，将无量纲配置空间（线丛）映射到接触流形，推广经典力学中余切丛函子的结构。
• 构建具有部分定义加法的带量纲代数，以建模物理量——其中仅同量纲量可相加——并定义带量纲泊松代数作为代数基础。
• 通过证明雅可比流形自然地作为度数为−1的带量纲泊松代数而出现，将雅可比流形重新解释为泊松流形的无量纲类比。
• 利用线丛上的势函子，建立带量纲泊松结构与雅可比结构之间的对应关系，从而获得新的几何洞见。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖外部单位的前提下，正式地将物理量纲嵌入相空间的几何结构中？
• RQ2 是否存在一种无量纲的辛几何与泊松几何推广，能自然地融入维度分析？
• RQ3 标准哈密顿形式体系能否在尊重物理量纲的范畴框架下被重新表述？
• RQ4 在带量纲代数的形式体系中，雅可比流形是否自然地作为泊松流形的带量纲类比出现？
• RQ5 物理系统的动力学能否在无量纲几何设定中一致地表述，同时保持经典力学的运动学结构？

主要发现

• 无量纲流形（即无首选单位的线丛）为带量纲力学中的配置空间提供了自然的几何设定。
• 无量纲配置空间的喷射丛自然携带接触结构，从而可实现接触哈密顿力学的典范形式。
• 雅可比流形被证明同构于度数为−1的带量纲泊松代数，确立了其作为泊松流形的无量纲类比地位。
• 哈密顿函子将无量纲配置空间（线丛）映射到接触相空间，推广了经典力学中余切丛函子的结构。
• 具有部分定义加法的带量纲代数为物理量提供了严格的代数模型，而带量纲泊松代数则将雅可比结构作为特例恢复。
• 该形式体系提示了新的几何结构——在一组线丛上定义的带量纲泊松代数——可能将雅可比几何推广至单一线丛之外的情形。