[论文解读] A large deviation principle for empirical measures on Polish spaces: Application to singular Gibbs measures on manifolds

David García Zelada|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Morphological variations and asymmetry被引用 3

一句话总结

本文通過非歸一化吉布斯測度的一般拉普拉斯原理，為波兰空间上吉布斯点過程的經驗測度建立了大偏差原理（LDP）。該方法應用於緊緻黎曼流形上的奇異吉布斯測度、庫侖氣體及歐幾里得系統，證明了拉普拉斯原理的確定性 $γ$-收斂類比，為奇異系統提供了一個統一且自然的分析方法。

ABSTRACT

We prove a large deviation principle for a sequence of point processes defined by Gibbs probability measures on a Polish space. This is obtained as a consequence of a more general Laplace principle for the non-normalized Gibbs measures. We consider three main applications: Conditional Gibbs measures on compact spaces, Coulomb gases on compact Riemannian manifolds and the usual Gibbs measures in the Euclidean space. Finally, we study the generalization of Fekete points and prove a deterministic version of the Laplace principle known as $\Gamma$-convergence. The approach is partly inspired by the works of Dupuis and co-authors. It is remarkably natural and general compared to the usual strategies for singular Gibbs measures.

研究动机与目标

• 在一般波兰空間上建立吉布斯點過程經驗測度的大偏差原理。
• 將拉普拉斯原理方法擴展至非歸一化吉布斯測度，以實現對奇異與複雜系統的分析。
• 將該框架應用於緊緻空間上的條件吉布斯測度、流形上的庫侖氣體，以及歐幾里得空間中的標準吉布斯測度。
• 透過證明拉普拉斯原理的確定性 $γ$-收斂版本，推廣費克特點（Fekete points）的概念。
• 提供一個統一且自然的框架，用於奇異吉布斯測度，克服傳統方法的限制。

提出的方法

• 推導出在波兰空間上非歸一化吉布斯測度的一般拉普拉斯原理，作為LDP的基礎。
• 應用拉普拉斯原理，透過弱收斂與變分技術，推導經驗測度的大偏差原理。
• 利用該框架分析三種關鍵情形：緊緻空間上的條件吉布斯測度、緊緻黎曼流形上的庫侖氣體，以及歐幾里得空間中的標準吉布斯測度。
• 引入拉普拉斯原理的確定性 $γ$-收斂類比，推廣費克特點配置至奇異系統。
• 依賴杜普瓦（Dupuis）及其合作者的技術靈感，並針對奇異與非光滑相互作用勢進行適應。
• 運用泛函分析工具與測度的弱收斂性，以處理吉布斯系統的奇異性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般波兰空間上為吉布斯點過程的經驗測度建立大偏差原理？
• RQ2 如何將拉普拉斯原理擴展至非歸一化吉布斯測度，以分析奇異系統？
• RQ3 在該框架下，庫侖氣體在緊緻黎曼流形上的行為如何？
• RQ4 拉普拉斯原理的確定性 $γ$-收斂版本與推廣的費克特點之間有何關係？
• RQ5 此方法能否統一分析不同幾何與拓撲設定下的奇異吉布斯測度？

主要发现

• 透過非歸一化測度的一般拉普拉斯原理，嚴謹地建立了吉布斯點過程經驗測度在波兰空間上的大偏差原理。
• 該框架成功應用於緊緻空間上的條件吉布斯測度、緊緻黎曼流形上的庫侖氣體，以及歐幾里得空間中的標準吉布斯測度。
• 本文證明了拉普拉斯原理的確定性 $γ$-收斂版本，將費克特點概念推廣至奇異系統。
• 該方法為奇異吉布斯測度提供了一種自然且通用的替代方案，特別適用於具有非光滑或長程相互作用的系統。
• 結果顯示，拉普拉斯原理方法在處理多樣幾何設定下的複雜奇異系統時具有強大魯棒性。
• 該方法避免了對相互作用勢的嚴苛假設，使具有奇異或類似奇異行為的系統得以分析。