[论文解读] A Large Deviation Principle for Gibbs States on Markov Shifts at Zero Temperature

Rodrigo Bissacot, Jairo K. Mengue+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文在可数马尔可夫移位上建立了零温条件下吉布斯测度的大型偏差原理（LDP），将先前针对有限字母表的结果推广至可数字母表。在沃尔特斯条件及最大测度唯一性的假设下，证明了与 $\beta f$ 关联的平衡测度族 $\mu_\beta$ 满足一个 LDP，其偏差函数 $I(x)$ 通过一个校准次作用 $V$ 定义，将零温极限与最大测度及次作用联系起来。

ABSTRACT

Let $Σ_{A}(\mathbb{N})$ be a topologically mixing countable Markov shift with the BIP property over the alphabet $\mathbb{N}$ and $f: Σ_{A}(\mathbb{N}) ightarrow \mathbb{R}$ a potential satisfying the Walters condition with finite Gurevich pressure. Under suitable hypotheses, we prove the existence of a Large Deviation Principle for the family $(μ_β)_{β> 0}$ where each $μ_β$ is the Gibbs measure associated to the potential $βf$. Our main theorem generalizes from finite to countable alphabets and also to a larger class of potentials a previous result of A. Baraviera, A. O. Lopes and P. Thieullen.

研究动机与目标

• 将吉布斯测度的大型偏差原理（LDP）从有限字母表推广至可数马尔可夫移位。
• 在拓扑混合、BIP-可数马尔可夫移位上，对满足沃尔特斯条件的势函数建立 LDP。
• 提出一种避免使用对合核的新证明策略，适用于非紧致情形。
• 在唯一性假设下，将关于零温极限的结果（包括最大测度与次作用的存在性）进行推广。
• 阐明偏差函数 $I(x)$ 的结构，其与校准次作用的关系，以及其与零作用周期点集的关系。

提出的方法

• 证明依赖于势函数 $f$ 存在一个有界校准次作用 $V$，该 $V$ 构造为 Ruelle 算子的归一化特征函数的极限。
• 偏差函数定义为 $I(x) = -\sum_{j=0}^{\infty} (f + V - V \circ \sigma - \mu(f))(\sigma^j(x))$，将 LDP 与移位的动力学及次作用联系起来。
• 作者利用 BIP 性质与拓扑混合性，确保 $\beta f$ 的平衡测度 $\mu_\beta$ 的存在性与唯一性。
• 他们应用热力学形式主义中的技术，包括 Gurevich 压力与可 summable 变差，以控制相关性的衰减并确保收敛性。
• 证明避免使用对合核，而是直接分析 $\frac{1}{\beta}\log \mu_\beta(C)$ 在柱集 $C$ 上的渐近行为。
• 关键步骤是证明 $I(x) = 0$ 当且仅当 $S_f(x,x) = 0$，即 $x$ 属于实现 Birkhoff 和最大值的周期点集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在零温条件下，可数马尔可夫移位上的吉布斯测度是否满足大型偏差原理？
• RQ2 是否可以在不依赖对合核的情况下建立 LDP，特别是在非紧致情形下？
• RQ3 偏差函数 $I(x)$ 如何与移位的动力学及最大测度的结构相关联？
• RQ4 哪些条件能保证最大测度的唯一性，以及这如何影响 LDP？
• RQ5 LDP 能否超越 BIP 性质，特别是在如更新移位等系统中？

主要发现

• 平衡测度族 $(\mu_\beta)_{\beta>0}$ 满足一个大型偏差原理，其偏差函数为 $I(x) = -\sum_{j=0}^{\infty} (f + V - V \circ \sigma - \mu(f))(\sigma^j(x))$，其中 $V$ 为有界校准次作用。
• 在最大测度唯一性的假设下，偏差函数 $I(x)$ 是良定义且有限的，从而确保了 LDP 的有效性。
• 证明了 $I(x) = 0$ 当且仅当 $S_f(x,x) = 0$，即 $x$ 属于实现 Birkhoff 和最大值的周期点集。
• LDP 将先前针对有限字母表的结果推广至可数字母表，将该理论的适用范围扩展至非紧致系统。
• 该证明策略避免使用对合核，为在非紧致情形下获得 LDP 提供了一条新路径。
• 在势函数为强制且局部 Hölder 的条件下，结果被推广至更新移位，此时相变不发生，表明 LDP 在此类情形下也应成立。