[论文解读] A Large Deviation Principle in Holder Norm for Multiple Fractional Integrals

Marta Sanz-Sol|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文在 Hölder 范数下建立了分数阶布朗运动（fBm）驱动的多重分数阶积分的大偏差原理（LDP），其中赫斯参数 H ∈ (1/2, 1)。通过利用 fBm 相对于标准布朗运动的随机积分表示，作者在单纯形上构造了多重不定积分，并证明了重标度过程的分布满足 Hölder 拓扑下的 LDP，将大偏差理论扩展至不规则、长记忆的随机过程。

ABSTRACT

For a fractional Brownian motion B H with Hurst parameter H ∈ ) 1 , 1 (∪) 1 ,1(, multiple indefinite integrals on a simplex are constructed and the reg- ularity of their sample paths are studied. Then, it is proved that the family of probability laws of the processes obtained by replacing B H by e 1 2 B H satisfies a large deviation principle in Holder norm. The definition of the multiple integrals relies upon a representation of the fractional Brownian motion in terms of a stochas- tic integral with respect to a standard Brownian motion. For the large deviation principle, the abstract general setting in (7) is used.

研究动机与目标

• 研究分数阶布朗运动在单纯形上多重不定积分的样本路径正则性。
• 将大偏差理论扩展至具有长程依赖性的 fBm 驱动的多重随机积分。
• 建立通过将 fBm 替换为指数鞅变换后得到的重标度过程在 Hölder 范数下的大偏差原理。
• 为随机分析中不规则、非马氏过程提供严格的分析框架。

提出的方法

• 将分数阶布朗运动表示为相对于标准布朗运动的随机积分，以实现多重积分的构造。
• 利用 fBm 的随机积分表示，在单纯形上定义多重不定积分。
• 将抽象大偏差框架（引用为 (7)）应用于涉及 fBm 平方一半指数的变换过程。
• 证明在 Hölder 范数下，变换测度下的概率的紧致性与指数衰减。
• 利用样本路径的正则性属性，确保在 Hölder 拓扑下的收敛性。
• 通过压缩原理与 Hölder 空间中的一致估计建立 LDP。

实验结果

研究问题

• RQ1 多重分数阶积分的概率律族是否在 Hölder 范数下满足大偏差原理？
• RQ2 fBm 多重积分的样本路径正则性如何影响其大偏差行为？
• RQ3 抽象 LDP 框架 (7) 是否可应用于 fBm 这类非马氏、自相似过程？
• RQ4 指数鞅变换对 Hölder 拓扑下大偏差行为有何影响？
• RQ5 赫斯参数 H ∈ (1/2, 1) 的选择如何影响速率函数与 LDP 中的收敛性？

主要发现

• 证明了在单纯形上，fBm 的多重不定积分的样本路径在 H ∈ (1/2, 1) 时几乎必然具有 Hölder 连续性。
• 通过将 fBm 替换为 e^{1/2 B^H} 得到的重标度过程的概率律族，在 Hölder 范数拓扑下满足大偏差原理。
• 利用抽象框架（引用为 (7)）建立了大偏差原理，确保了 Hölder 空间中良好速率函数的存在性。
• 多重积分的构造关键依赖于 fBm 相对于标准布朗运动的随机积分表示。
• 积分的正则性确保了在更强的 Hölder 拓扑下收敛，而不仅是在分布意义下收敛。
• 该结果将大偏差理论扩展至具有非高斯样本路径的非马氏、长记忆过程。