[论文解读] A large-scale regularity theory for the Monge-Ampere equation with rough data and application to the optimal matching problem

Michaël Goldman, Martin Huesmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 13

一句话总结

该论文为具有粗糙数据的Monge-Ampère方程建立了大规模正则性理论，证明在二维情况下，最优传输映射在所有尺度上相对于恒等映射的偏差均保持一致接近，仅存在对数发散的平移。关键结果为一个定量估计，表明当系统尺寸较大时，传输映射在每个尺度上均保持接近恒等映射，从而实现了在二维空间中Lebesgue测度与泊松点过程之间局部最优、平稳耦合的构造。

ABSTRACT

The aim of this paper is to obtain quantitative bounds for solutions to the optimal matching problem in dimension two. These bounds show that up to a logarithmically divergent shift, the optimal transport maps are close to be the identity at every scale. These bounds allow us to pass to the limit as the system size goes to infinity and construct a locally optimal coupling between the Lebesgue measure and the Poisson point process which retains the stationarity properties of the Poisson point process only at the level of second-order differences. Our quantitative bounds are obtained through a Campanato iteration scheme based on a deterministic and a stochastic ingredient. The deterministic part, which can be seen as our main contribution, is a regularity result for Monge-Ampère equations with rough right-hand side. Since we believe that it could be useful in other contexts, we prove it for general space dimensions. The stochastic part is a concentration result for the optimal matching problem which builds on previous work by Ambrosio, Stra and Trevisan.

研究动机与目标

• 为一般维度下具有粗糙右端项的Monge-Ampère方程发展大规模正则性理论。
• 为二维临界维度下Lebesgue测度与泊松点过程之间最优匹配问题的最优传输映射提供定量边界。
• 通过取周期最优传输映射在无限系统尺寸极限下的极限，建立R²上Lebesgue测度与泊松点过程之间局部最优、平稳耦合的存在性。
• 将确定性正则性估计与随机浓度结果相结合，以控制最优匹配问题中的波动。

提出的方法

• 采用Campanato迭代方案，结合Monge-Ampère方程在粗糙数据下的确定性正则性结果与最优匹配问题的随机浓度估计。
• 确定性部分在右端项满足最小可积性条件下，建立了所有维度下解的Hölder正则性。
• 随机部分利用泊松点过程的测度集中性，基于Ambrosio、Stra与Trevisan的前期工作，控制匹配代价中的波动。
• 使用尺度不变的L²范数来度量传输映射与恒等映射的接近程度，并在所有 dyadic 尺度上获得统一的边界。
• 无限体积耦合的构造依赖于环面上有限体积最优传输映射在系统尺寸L→∞时的弱收敛性。
• 极限耦合仅在二阶差分层面上保持平稳性，反映出二维匹配代价中的对数发散特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当右端项粗糙或不规则时，如何获得Monge-Ampère方程解的定量正则性估计？
• RQ2 当系统尺寸L→∞时，Lebesgue测度与泊松点过程在二维空间中的最优匹配代价的渐近行为如何？
• RQ3 能否通过取周期最优传输映射的极限，构造出R²上Lebesgue测度与泊松点过程之间平稳且局部最优的耦合？
• RQ4 在二维最优匹配问题中，传输映射在所有尺度上与恒等映射的接近程度在多大程度上保持，以及如何对其进行量化？

主要发现

• 在d=2时，存在一个随机半径r*,L，满足r*,L ≪ L，且对所有L，其期望指数矩E[exp(cr*,L² / log(2r*,L))]有统一有界。
• 在所有尺度ℓ ∈ [2r*,L, L]上，最优传输映射T在L²意义下相对于恒等映射加平移xL保持一致接近，边界为∫_{Bℓ(xL)} |T - (x - xL)|² dx ≲ ℓ⁴ log³(ℓ/r*,L) / (ℓ/r*,L)²。
• 平移量xL满足|xL|² ≲ r*,L² log³(L/r*,L)，表明质心平移随系统尺寸呈次线性增长。
• 对L²偏离恒等映射的边界被改进为∫_{Bℓ(xL)} |T - (x - ξ)|² dx ≲ ℓ⁴ log(ℓ/r*,L) / (ℓ/r*,L)²（对某个ξ ∈ R²），表明结果接近最优。
• R²上Lebesgue测度与泊松点过程之间的极限耦合是局部最优且协变的，但平稳性仅在二阶差分层面上保持。
• 无限体积耦合的构造依赖于有限体积最优映射的弱收敛性，以及利用确定性正则性理论在所有尺度上控制波动。