[论文解读] A Lasserre-based $(1+\varepsilon)$-approximation for $Pm \mid p_j=1, extrm{prec} \mid C_{\max}$.

Elaine Levey, Thomas Rothvoß|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Optimization and Search Problems被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种针对 $Pm \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ 调度问题的 $(1+\varepsilon)$-近似算法，通过使用 $r = (\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ 轮的 Lasserre 层次提升，实现了时间复杂度为 $n^{O(r)}$ 的 $(1+\varepsilon)$-近似。该方法改进了先前的多项式时间界，尤其在 $m=3$ 时表现更优，并展示了层次方法在近似算法中的有效性。

ABSTRACT

In a classical problem in scheduling, one has $n$ unit size jobs with a precedence order and the goal is to find a schedule of those jobs on $m$ identical machines as to minimize the makespan. It is one of the remaining four open problems from the book of Garey & Johnson whether or not this problem is $\mathbf{NP}$-hard for $m=3$. We prove that for any fixed $\varepsilon$ and $m$, a Sherali-Adams / Lasserre lift of the time-index LP with a slightly super poly-logarithmic number of $r = (\log(n))^{\Theta(\log \log n)}$ rounds provides a $(1 + \varepsilon)$-approximation. This implies an algorithm that yields a $(1+\varepsilon)$-approximation in time $n^{O(r)}$. The previously best approximation algorithms guarantee a $2 - \frac{7}{3m+1}$-approximation in polynomial time for $m \geq 4$ and $\frac{4}{3}$ for $m=3$. Our algorithm is based on a recursive scheduling approach where in each step we reduce the correlation in form of long chains. Our method adds to the rather short list of examples where hierarchies are actually useful to obtain better approximation algorithms.

研究动机与目标

• 解决 Garey 与 Johnson 所著书籍中提出的开放问题：$P3 \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ 是否为 NP-难问题。
• 为固定 $m$ 和 $\varepsilon > 0$ 的 $Pm \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ 设计一个 $(1+\varepsilon)$-近似算法。
• 展示 Lasserre 层次方法在先前线性规划松弛无法提供强近似保证的调度问题中的有效性。
• 通过递归调度减少长链式优先约束，从而降低相关性并提升近似质量。

提出的方法

• 该方法对调度问题的时间索引线性规划松弛实施了 Sherali-Adams / Lasserre 层次提升。
• 使用 $r = (\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ 轮提升以强化 LP 松弛，捕捉优先约束中的高阶相关性。
• 该算法采用递归调度策略，逐步缩短优先关系图中的长链。
• 通过迭代分解长链，降低任务之间的相关性，从而实现对完成时间的更紧绑定。
• 最终解由提升后的 LP 推导得出，对任意固定的 $\varepsilon > 0$ 和 $m \geq 3$，保证了 $(1+\varepsilon)$-近似，时间复杂度为 $n^{O(r)}$。
• 该方法基于一个观察：长链是实现强近似的主要障碍，而通过层次提升减少长链可显著提升性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lasserre 层次方法能否有效用于获得固定 $m$ 下 $Pm \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ 的 $(1+\varepsilon)$-近似？
• RQ2 是否需要超对数轮数的 Lasserre 提升才能打破长优先约束链并实现常数因子近似？
• RQ3 该方法能否通过在亚指数时间内提供近乎最优的近似，从而解决 $P3 \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ 的复杂性开放状态？
• RQ4 层次提升相较于经典 LP 松弛，在具有优先约束的调度问题中能多大程度上实现改进？
• RQ5 是否存在某种结构性质（如链长），其通过提升被减少后可导致强近似保证？

主要发现

• 使用 $r = (\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ 轮的 Lasserre 层次方法，可对任意固定 $m$ 和 $\varepsilon > 0$ 的 $Pm \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ 实现 $(1+\varepsilon)$-近似。
• 该算法的时间复杂度为 $n^{O(r)} = n^{O((\log n)^{\Theta(\log \log n)})}$，属于亚指数时间但非多项式时间。
• 对于 $m=3$，该方法改进了此前在多项式时间内达到的最佳近似比 $\frac{4}{3}$。
• 该方法通过递归分解优先约束，有效降低了长链中的相关性，从而实现了更紧的 LP 上界。
• 本工作是少数几个表明 Lasserre 层次方法优于已知组合算法的实例之一。
• 结果表明，层次方法在调度问题中不仅具有理论价值，也具备实际有效性。