[论文解读] A lattice gauge model for quantum mechanics on a stratified space

Johannes Huebschmann, Gerd Rudolph+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2007

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 8

一句话总结

本文在单个空间晶胞上构建了量子规范场论，通过在分层Kähler约化相空间上进行量子化，将经典奇点纳入其中。该研究引入了反映相空间分层结构的共分层希尔伯特空间结构，并针对SU(2)群，在强耦合与弱耦合极限下计算了隧穿概率、能级本征态及投影算符的期望值。

ABSTRACT

In the Hamiltonian approach on a single spatial plaquette, we construct a quantum lattice gauge theory which incorporates the classical singularities. The reduced phase space is a stratified K\\"ahler space, and we make explicit the requisite singular holomorphic quantization procedure on this space. On the quantum level, this procedure furnishes a costratified Hilbert space, that is, a Hilbert space together with a system which consists of subspaces associated with the strata and of the corresponding orthoprojectors. The costratified Hilbert space structure reflects the stratification of the reduced phase space. For the special case where the structure group is $\\mathrm{SU}(2)$, we discuss the tunneling probabilities between the strata, determine the energy eigenstates and study the corresponding expectation values of the orthoprojectors onto the subspaces associated with the strata in the strong and weak coupling approximations.

研究动机与目标

• 构建一种哈密顿量晶格规范场论，以在约化相空间中一致地包含经典奇点。
• 在具有非平凡分层结构的奇异分层Kähler空间上，发展一种全纯化量子化程序。
• 构建共分层希尔伯特空间，使不同相空间分层对应子空间与正交投影算符。
• 分析SU(2)规范群的量子动力学，特别是不同分层之间的隧穿行为及能级本征态结构。
• 计算SU(2)在强耦合与弱耦合区域中，对各分层投影算符的期望值。

提出的方法

• 将约化相空间定义为在单个晶胞上通过规范固定得到的分层Kähler流形。
• 对分层Kähler空间应用奇异全纯化量子化，得到与各分层对应的子空间构成的共分层希尔伯特空间。
• 利用作用于特定分层子空间的正交投影算符，描述局域于不同分层的量子态。
• 针对SU(2)，通过强耦合与弱耦合极限下的微扰方法推导哈密顿量并求解能级本征态。
• 通过哈密顿量在正交投影算符边界处的矩阵元，计算不同分层之间的隧穿振幅。
• 在能级本征态中计算正交投影算符的期望值，以量化各分层上的态布居概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当经典约化相空间包含奇点时，如何一致地构建量子晶格规范场论？
• RQ2 对于具有非平凡分层结构的分层Kähler空间，应采用何种适当的量子化程序？
• RQ3 奇异全纯化量子化如何导致共分层希尔伯特空间结构的出现？
• RQ4 在SU(2)情形下，不同分层之间的隧穿概率是多少？
• RQ5 在强耦合与弱耦合极限下，能级本征态与投影算符期望值的行为如何？

主要发现

• 奇异全纯化量子化程序成功构造出共分层希尔伯特空间，其子空间与正交投影算符分别对应于约化相空间的各分层。
• 对于SU(2)，通过哈密顿量在分层边界处的矩阵元，显式计算了分层之间的隧穿概率。
• 在强耦合与弱耦合近似下确定了能级本征态，揭示了各区域中截然不同的量子行为。
• 计算了作用于分层子空间的正交投影算符的期望值，展示了在两种耦合极限下量子态在不同分层上的分布情况。
• 共分层希尔伯特空间结构为描述奇异相空间上的量子动力学提供了自然框架。
• 结果表明，诸如隧穿与态局域化等量子效应对耦合强度及底层分层几何结构高度敏感。