[论文解读] A lecture on Kac--Moody Lie algebras of the arithmetic type

Viacheslav V. Nikulin|ArXiv.org|Dec 6, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用 25

一句话总结

本文通过将它们与双曲空间中的算术反射群联系起来，引入并分类了算术型 Kac–Moody 李代数，这是可对称化双曲 Kac–Moody 代数的推广。它表明，此类代数的广义 Cartan 矩阵可分为四类——有限型、仿射型、秩二型和算术双曲型，并通过反射性整数对称双线性形式对后者进行了完整分类，证明仅有有限多组系列存在，且对称情形下的完整分类已知。

ABSTRACT

We name an indecomposable symmetrizable generalized Cartan matrix $A$ and the corresponding Kac--Moody Lie algebra ${\goth g} ^\prime (A)$ {\it of the arithmetic type} if for any $β\in Q$ with $(β| β)<0$ there exist $n(β)\in {\Bbb N}$ and an imaginary root $α\in Δ^{im}$ such that $n(β)β\equiv α\mod Ker\ (.|.)$ on $Q$. Here $Q$ is the root lattice. This generalizes "symmetrizable hyperbolic" type of Kac and Moody. We show that generalized Cartan matrices of the arithmetic type are divided in $4$ types: (a) finite, (b) affine, (c) rank two, and (d) arithmetic hyperbolic type. The last type is very closely related with arithmetic groups generated by reflections in hyperbolic spaces with the field of definition $\Bbb Q$. We apply results of the author and É.B. Vinberg on arithmetic groups generated by reflections in hyperbolic spaces to describe generalized Cartan matrices of the arithmetic hyperbolic type and to show that there exists a finite set of series of the generalized Cartan matrices of the arithmetic hyperbolic type. For the symmetric case all these series are known.

研究动机与目标

• 定义并表征算术型 Kac–Moody 李代数，推广可对称化双曲型的情形。
• 将此类代数的广义 Cartan 矩阵划分为四类：有限型、仿射型、秩二型和算术双曲型。
• 建立此类代数与具有有理数域定义的双曲空间中算术反射群之间的对应关系。
• 证明算术双曲型广义 Cartan 矩阵源自有限组系列的反射性本原双曲整数对称双线性形式。
• 通过 2-反射形式和已知分类结果，对算术双曲型对称广义 Cartan 矩阵提供完整描述。

提出的方法

• 引入算术型条件：对任意负范数根 β，存在某个倍数 n(β)β，使得其模 Ker(·|·) 同余于一个虚根 α。
• 在由可对称化广义 Cartan 矩阵 A 导出的根格 Q 上使用典范对称双线性形式 (·|·)。
• 应用 Nikulin 和 Vinberg 关于双曲空间中算术反射群的结果，对反射性整数对称双线性形式 S 进行分类。
• 从一个反射性形式 S、一个有限指标的反射子群 W̃ ⊂ O(S)，以及一个满足整性与生成条件的函数 λ: P(M)pr → ℕ 构造广义 Cartan 矩阵 A(S, W̃, λ)。
• 建立此类代数与不变量 (S, W̃, λ) 之间的典范对应关系，表明所有此类代数均由此构造产生。
• 利用 2-反射条件（即 [O(S):W(2)(S)] < ∞）对对称情形进行完全分类，利用已知的此类形式在秩至 19 以内的分类结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么条件定义了算术型 Kac–Moody 李代数，它如何推广可对称化双曲型的情形？
• RQ2 如何对算术双曲型广义 Cartan 矩阵进行分类，它们可归入哪些结构类型？
• RQ3 此类 Kac–Moody 代数与具有有理数域定义的双曲空间中的算术反射群之间存在何种关系？
• RQ4 是否存在有限多组算术双曲型广义 Cartan 矩阵系列，且能否从反射性形式显式构造？
• RQ5 对称广义 Cartan 矩阵的算术双曲型是否存在完整分类，其与 2-反射形式有何关联？

主要发现

• 算术型广义 Cartan 矩阵分为四类：有限型、仿射型、秩二型和算术双曲型。
• 算术双曲型与具有有理数域作为定义域的双曲空间中的算术反射群密切相关。
• 存在一个有限集合的算术双曲型广义 Cartan 矩阵系列，其对应于反射性本原双曲整数对称双线性形式。
• 在对称情形下，所有此类矩阵均被完全分类，最大秩为 19，利用 2-反射形式实现。
• 此类代数的构造是典范的：每个代数均由三元组 (S, W̃, λ) 生成，其中 S 为反射性形式，W̃ 为有限指标的反射子群，λ 为满足 (4.4) 和 (4.5) 的函数。
• 对称情形对应于满足 [O(S):W(2)(S)] < ∞ 的 2-反射形式 S，且所有此类形式在秩至 19 以内均已知。