[论文解读] A library of Taylor models for PVS automatic proof checker

Francisco Cháves, Marc Daumas|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2006

Numerical Methods and Algorithms参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文提出了一种集成到PVS证明助手中的形式化验证的泰勒模型库，使用户能够计算具有验证的数值边界并生成机器可检查的证明。通过利用PVS的高阶逻辑和自动证明检查器，该库通过严格的类型检查和定理证明确保了算术运算和区间包含的正确性，为必须正式排除数值错误的安全关键应用提供了一个可信的替代方案。

ABSTRACT

We present in this paper a library to compute with Taylor models, a technique extending interval arithmetic to reduce decorrelation and to solve differential equations. Numerical software usually produces only numerical results. Our library can be used to produce both results and proofs. As seen during the development of Fermat's last theorem reported by Aczel 1996, providing a proof is not sufficient. Our library provides a proof that has been thoroughly scrutinized by a trustworthy and tireless assistant. PVS is an automatic proof assistant that has been fairly developed and used and that has no internal connection with interval arithmetic or Taylor models. We built our library so that PVS validates each result as it is produced. As producing and validating a proof, is and will certainly remain a bigger task than just producing a numerical result our library will never be a replacement to imperative implementations of Taylor models such as Cosy Infinity. Our library should mainly be used to validate small to medium size results that are involved in safety or life critical applications.

研究动机与目标

• 在PVS证明助手中开发一个形式化验证的泰勒模型库，以支持数值计算和机器可检查的证明。
• 通过将区间算术与泰勒模型技术相结合，解决传统数值软件的局限性，以减少相关性误差并提高精度。
• 为需要形式化证明的安全关键和生命关键应用中，提供一种可信赖的框架，用于验证中小型数值结果。
• 证明形式化验证（通过PVS）可应用于高级数值方法（如泰勒模型），即使这些方法在证明系统中并非原生支持。
• 为未来扩展该库奠定基础，包括基本函数（如正弦、余弦、平方根）的支持，以及通过自动化证明策略提升用户抽象能力。

提出的方法

• 该库在PVS中定义了一种新的抽象数据类型用于泰勒模型，将每个模型表示为一个多项式加上一个区间余项。
• 它与现有的PVS区间算术库集成，以确保区间运算的正确性和一致性。
• 通过PVS的类型系统和定理证明能力，对加法、乘法和函数求逆等操作进行了形式化正确性证明。
• 系统使用PVS的子类型机制来强制实施约束（例如，非零分母、非负根号），确保操作仅在有效定义域内应用。
• 该库依赖一个自定义多项式库，并证明了分析和代数中的基础定理，以支持泰勒模型算术。
• 使用PVS的底层求值器和PVSio扩展来执行和测试表达式，支持在Common Lisp中对泰勒模型表达式进行求值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在像PVS这样的高阶逻辑证明助手中对泰勒模型进行形式化验证，以确保算术运算和区间包含的正确性？
• RQ2 如何以类型安全的方式结合区间算术和多项式运算，以表示具有严格误差边界的泰勒模型？
• RQ3 使用PVS为涉及超越函数和非线性运算的数值结果生成机器可检查证明的可行性与实用性如何？
• RQ4 在不损害可信度的前提下，PVS的证明基础设施在多大程度上可以扩展以支持高级数值技术（如泰勒模型）？
• RQ5 如何在保持安全关键数值计算形式正确性的前提下，降低形式化证明的复杂性，以提升最终用户的使用体验？

主要发现

• 该库成功实现了核心泰勒模型运算（包括加法、乘法和求逆）的形式化验证，并在PVS中生成了机器可检查的证明。
• 通过使用子类型谓词排除无效输入，系统正确处理了除法和倒数运算中的非零约束。
• 一个简易示例表明，该库能够计算表达式 ch(2x/1000) × sh(3x/1000) 的五次泰勒模型，得到一个多项式，其最高次项系数为 P(5) = 521/4×10^16，且区间余项被限制在 ±1.996×10^-28 以内。
• 通过PVSio扩展的PVS底层求值器成功提取并求值了泰勒模型的多项式和区间分量，验证了符号表示的正确性。
• 该库设计为可扩展，计划支持基本函数（如正弦、余弦、平方根和反正切），并引入更高级的证明策略以抽象低级细节。
• 该开发表明，当辅以专家指导和逐步证明构建时，即使在PVS中并非原生支持的复杂数值方法，其形式化验证也是可行的。