[论文解读] A Lichnerowicz Vanishing Theorem for the Maximal Roe Algebra

Hao Guo, Zhizhang Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文在非共(compact)群作用下，为具有均匀正 scalar curvature 的自旋流形的极大等变 Roe 代数建立了 Lichnerowicz 退化定理。通过在极大一致 Roe 代数中构造 Dirac 算子的泛函演算，并证明极大一致指标的退化，作者表明即使在无共(compact)性假设下，Dirac 算子的极大高阶指标在 $K$-理论中也退化。

ABSTRACT

We show that if a countable discrete group acts properly and isometrically on a spin manifold of bounded Riemannian geometry and uniformly positive scalar curvature, then, under a suitable condition on the group action, the maximal higher index of the Dirac operator vanishes in K-theory of the maximal equivariant Roe algebra. The group action is not assumed to be cocompact. A key step in the proof is to establish a functional calculus for the Dirac operator in the maximal equivariant uniform Roe algebra. This allows us to prove vanishing of the index of the Dirac operator in K-theory of this algebra, which in turn yields the result for the maximal higher index.

研究动机与目标

• 将 Lichnerowicz 退化定理扩展至极大等变 Roe 代数框架，其中群作用无需满足共(compact)性。
• 解决极大 Roe 代数框架中阻碍先前 Lichnerowicz 类型论证的分析难题。
• 在均匀正 scalar curvature 条件下，建立 Dirac 算子在 $K$-理论中的极大高阶指标退化。
• 作为关键技术工具，在极大等变一致 Roe 代数中为 Dirac 算子构建泛函演算。
• 证明即使在非共(compact)设定下，极大高阶指标仍退化，从而推广了先前在约化设定下的结果。

提出的方法

• 通过几何条件定义极大等变一致 Roe 代数：有界黎曼几何与特定的 $̳$-作用条件（假设 2.6）。
• 在极大一致 Roe 代数上构造希尔伯特模结构，使 Dirac 算子作为正则、本质自伴算子作用。
• 利用其正则性与本质自伴性，在极大等变一致 Roe 代数中为 Dirac 算子建立泛函演算。
• 通过从 $χ(D)$ 构造的投影定义极大一致指标，其中 $χ$ 为具有紧支集傅里叶变换的归一化函数。
• 利用泛函演算证明在均匀正 scalar curvature 条件下，极大一致指标退化。
• 通过自然包含映射与 $K$-理论同态，将一致 Roe 代数中的退化结果提升至完整的极大等变 Roe 代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当流形具有均匀正 scalar curvature 时，Dirac 算子在极大等变 Roe 代数的 $K_0$-理论中的极大高阶指标是否退化？
• RQ2 尽管在约化情形中不存在的分析困难在极大 Roe 代数框架中存在，是否仍可建立 Lichnerowicz 类型的退化定理？
• RQ3 Dirac 算子的泛函演算在何种几何与群论条件下可延拓至极大一致 Roe 代数？
• RQ4 极大一致指标的退化是否足以推出在完整极大 Roe 代数中极大高阶指标的退化？
• RQ5 该结果能否推广至非共(compact)群作用，从而推广先前局限于共(compact)设定下的结果？

主要发现

• 当 $M$ 具有均匀正 scalar curvature 且满足几何条件时，Dirac 算子在 $K_0(C^*_{\text{max}}(M)^\Gamma)$ 中的极大高阶指标退化。
• 该退化通过极大一致指标实现，其在 $K_0(C^*_{\text{max},u}(M;L^2(S))^\Gamma)$ 中于正 scalar curvature 假设下被证明退化。
• 在极大等变一致 Roe 代数中为 Dirac 算子构建了泛函演算，其依赖于算子的正则性与本质自伴性。
• 该结果无需假设群作用的共(compact)性，推广了先前局限于共(compact)设定下的定理。
• 极大一致 Roe 代数是极大等变 Roe 代数的子代数，且一致指标的退化意味着完整极大指标的退化。
• 该证明为在非共(compact)设定下计算 $K$-理论不变量提供了新方法，对非紧流形上的指标理论具有应用价值。