[论文解读] A Lie Algebraic Theory of Barren Plateaus for Deep Parameterized Quantum Circuits

Michael Ragone, Bojko Bakalov+5 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 20

一句话总结

本文提出一个通用的李代数框架，用以精确计算深度参数化量子电路中的损失方差，将表达能力、数据纠缠、局部性和噪声等作为 barren plateaus 的来源进行统一。

ABSTRACT

Variational quantum computing schemes train a loss function by sending an initial state through a parametrized quantum circuit, and measuring the expectation value of some operator. Despite their promise, the trainability of these algorithms is hindered by barren plateaus (BPs) induced by the expressiveness of the circuit, the entanglement of the input data, the locality of the observable, or the presence of noise. Up to this point, these sources of BPs have been regarded as independent. In this work, we present a general Lie algebraic theory that provides an exact expression for the variance of the loss function of sufficiently deep parametrized quantum circuits, even in the presence of certain noise models. Our results allow us to understand under one framework all aforementioned sources of BPs. This theoretical leap resolves a standing conjecture about a connection between loss concentration and the dimension of the Lie algebra of the circuit's generators.

研究动机与目标

• 动机化并量化变分量子算法中的 barren plateaus（BPs）。
• 在基于动力学李代数 (DLA) 的单一李代数框架下统一不同来源的 BP。
• 在广泛条件和带噪声的设定下提供损失方差的精确表达式。
• 将损失集中与 DLA 的维数以及广义纠缠和局部性概念联系起来。

提出的方法

• 将参数化电路建模为 U(θ)=∏l e^{iHl θl}，其生成元 Hl 属于 i𝔲(2^n)。
• 将动力学李代数 𝔤 定义为 {iHl} 的李闭包，并将其分解为 𝔤=𝔤1⊕…⊕𝔤k，其中 𝔤k 为交换的（阿贝尔）代数。
• 在深度时，使用在 G=e^{𝔤} 上的 ε-近似 2-design，通过 Weingarten 微积分来计算参数平均量。
• 引入 𝔤-纯度 𝒫𝔤(H)=Tr[H𝔤^2]，通过将 H 投影到 𝔤ℂ 得到的 H𝔤，与方差在广义纠缠和局部性上的联系。
• 证明定理1，给出损失的精确均值和方差：E[ℓθ]=Tr[ρ𝔤k O𝔤k] 且 Var[ℓθ]=∑_{j=1}^{k-1} 𝒫𝔤j(ρ)𝒫𝔤j(O)/dim(𝔤j)。
• 通过 SPAM 和相干误差来处理噪声，展示对 𝔤-纯度和局部性的代数退相干效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下可以精确计算深度参数化量子电路的损失方差？
• RQ2 表达能力（DLA 的维数）、广义纠缠（𝒫𝔤）以及测量的广义局部性如何影响 barren plateaus？
• RQ3 SPAM 和相干噪声如何在同一李代数框架内改变损失方差？
• RQ4 一个单一框架能否统一已知的 BP 来源（表达能力、局部性、纠缠、噪声）以适用于通用体系结构？
• RQ5 当电路形成 2-design 时的含义以及需要多少层？

主要发现

• 损失均值由 DLA 的中心 𝔤k 决定；若 𝔤 没有中心，则均值可以消失。
• 损失方差是非中心的简单分量 𝔤j 的和，按 dim(𝔤j) 及 ρ 与 O 的 𝔤-纯度进行缩放。
• 若 DLA 的维数呈指数级增长，或若 1/𝒫𝔤(ρ) 或 1/𝒫𝔤(O) 增长为 Ω(b^n)，就会出现 barren plateaus。
• 具有多项式尺度 DLAs 的深层电路未必仅因表达能力而产生 BP；初态纠缠和局部性起作用。
• 噪声可以通过影响 𝒫𝔤(ρ) 和 𝒫𝔤(O) 的代数退相干来引起或抑制集中化，而相干错误可以通过扩大 DLA 来提高表达能力。
• 该工作给出精确的方差表达而非界限，并展示如何在单一框架内量化 BP 的起源。