[论文解读] A Lie-group derivation of a multi-layer mixing length formula for turbulent channel and pipe flow

Zhen-Su She, Xi Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2011

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 6

一句话总结

该论文通过平均动量方程的李群分析，推导出湍流通道流和管道流的多层混合长度公式，得到描述黏性子层、缓冲层、对数层、核心区和主流区的解析不变解。关键结果是在主流区采用简洁的 1−r^m 形式（通道流 m=4，管道流 m=5）的混合长度，该结果已通过直接数值模拟（DNS）验证。

ABSTRACT

A novel Lie-group analysis of the (unclosed) mean momentum equation (MME) for turbulent channel and pipe flows yields an analytic multi-layer formula for the mixing length (hence the mean velocity profile) as a candidate invariant solution. Two kinds of local invariant solutions are proposed: one describing viscous sublayer, buffer layer, log-layer, and a newly discovered central core, and the other describing the bulk zone where a quasi-balance is established between turbulent production and dissipation. In particular, a simple form, 1-r^m, is derived for describing the mixing length in the bulk zone of channel (m=4) and pipe (m=5) flows. Furthermore, an ansatz based on a relation between prolonged Lie-group invariants is proposed to derive composite invariant solutions to the MME, yielding the entire mixing length profile. The theory proposes a thorough quantification of commonly recognized multi-layer structure using three kinds of parameters: scaling, layer thickness and transition sharpness. All the above assumptions are validated by direct numerical simulation (DNS) of channel and pipe flows. A general framework extending this Lie-group analysis to other wall-bounded turbulent flows is proposed.

研究动机与目标

• 通过对称性分析，系统地推导湍流壁面受限流中混合长度分布的不变解。
• 通过不变解识别并表征多个流动区域——黏性子层、缓冲层、对数层、核心区和主流区。
• 提供一个闭合形式的解析表达式，完整描述从壁面到中心线的混合长度分布。
• 将推导出的混合长度模型与通道流和管道流的直接数值模拟（DNS）数据进行验证。
• 建立一个通用框架，将李群分析推广至其他壁面受限湍流流动。

提出的方法

• 对未闭合的平均动量方程（MME）应用李群分析，以识别对称性及不变解。
• 提出两种局部不变解：一种用于内层（黏性子层至对数层），另一种用于主流区，其湍流动能生成与耗散达到平衡。
• 基于延长的李群不变量提出假设，以构建覆盖整个流场域的复合不变解。
• 推导出主流区混合长度的简洁 1−r^m 形式，其中通道流 m=4，管道流 m=5。
• 使用尺度、层厚和过渡陡度作为三个关键参数，量化多层结构。
• 将所有理论预测与通道流和管道流的高保真直接数值模拟（DNS）数据进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 李群分析能否在湍流通道流和管道流的所有区域中，一致地推导出基于不变性的混合长度？
• RQ2 主流区的混合长度呈现出何种函数形式？通道流与管道流之间有何差异？
• RQ3 如何利用延长的李群不变量构建覆盖整个流场剖面的复合解？
• RQ4 所推导的不变解在多大程度上与DNS数据中观察到的多层结构相符？
• RQ5 所提出的框架能否推广至其他壁面受限湍流流动？

主要发现

• 通过李群分析推导出一种新颖的多层混合长度公式，可完整描述黏性子层、缓冲层、对数层、核心区和主流区。
• 发现主流区的混合长度遵循简洁的 1−r^m 形式，其中通道流 m=4，管道流 m=5。
• 理论分析识别出湍流通道流和管道流中此前未被认识的核心区区域。
• 所推导的混合长度分布已通过直接数值模拟（DNS）数据验证，证实了不变解的准确性。
• 该框架提供了一种系统化方法，利用三个参数（尺度、层厚、过渡陡度）量化多层结构。
• 该方法建立了一种可推广的途径，将李群分析扩展至其他壁面受限湍流流动。