[论文解读] A limit-computable function which does not have any single-fold Diophantine representation and whose computability is an open question

Apoloniusz Tyszka|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 2被引用 1

一句话总结

本文提出一个极限可计算函数 f(n)，其界定了 E_n 上任意丢番图方程组的唯一非负整数解中最大值的上界。证明了 f(n) 支配所有具有单重丢番图表示的函数，并给出了一个 MuPAD 实现，通过无限循环返回 f(n) 的越来越精确的近似值。

ABSTRACT

Let E_n={x_k=1, x_i+x_j=x_k, x_i \cdot x_j=x_k: i,j,k \in {1,...,n}}. For any integer n \geq 2214, we define a system T \subseteq E_n which has a unique integer solution (a_1,...,a_n). We prove that the numbers a_1,...,a_n are positive and max(a_1,...,a_n)>2^(2^n). For a positive integer n, let f(n) denote the smallest non-negative integer b such that for each system S \subseteq E_n with a unique solution in non-negative integers x_1,...,x_n, this solution belongs to [0,b]^n. We prove that if a function g:N-->N has a single-fold Diophantine representation, then f dominates g. We present a MuPAD code which takes as input a positive integer n, performs an infinite loop, returns a non-negative integer on each iteration, and returns f(n) on each sufficiently high iteration.

研究动机与目标

• 定义一个函数 f(n)，以界定了 E_n 上任意丢番图方程组的唯一非负整数解中最大值的上界。
• 证明 f(n) 支配所有 N→N 的函数 g，这些函数具有单重丢番图表示。
• 构建一个 MuPAD 算法，通过无限循环计算 f(n)，并在足够高的迭代次数下返回 f(n)。
• 证明 f(n) 是极限可计算的，但不具有单重丢番图表示。
• 确立尽管 f(n) 的定义清晰，其可计算性仍为开放问题。

提出的方法

• 本文将 E_n 定义为包含变量 x_1 到 x_n 的方程集合，包括等式、加法和乘法约束。
• 构建一个特定子系统 T ⊆ E_n，当 n ≥ 2214 时，该系统具有唯一的整数解 (a_1, ..., a_n)。
• 证明所有 a_i 为正数，并且 max(a_1, ..., a_n) > 2^(2^n)，从而建立解大小的下界。
• 将函数 f(n) 定义为最小的 b，使得所有 S ⊆ E_n 的唯一解均位于 [0, b]^n 内。
• 利用任何具有单重丢番图表示的函数必须被 f(n) 支配的性质，推导出其支配性结果。
• 实现一段 MuPAD 代码，以模拟 f(n) 的无限计算过程，通过循环的足够高次迭代返回 f(n)。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个极限可计算函数 f(n)，其不具有单重丢番图表示？
• RQ2 能否定义 f(n)，使其支配所有具有单重丢番图表示的函数？
• RQ3 f(n) 是否可计算，还是其可计算性虽经构造仍为开放问题？
• RQ4 使得所有 S ⊆ E_n 的唯一解均位于 [0, b]^n 内的最小上界 b 是多少？
• RQ5 能否在 MuPAD 中使用无限循环，通过在高次迭代中返回 f(n)，以近似计算 f(n)？

主要发现

• 当 n ≥ 2214 时，系统 T ⊆ E_n 具有唯一的整数解 (a_1, ..., a_n)，所有 a_i 为正数，且 max(a_1, ..., a_n) > 2^(2^n)。
• 函数 f(n) 定义为最小的非负整数 b，使得所有 S ⊆ E_n 的唯一解均位于 [0, b]^n 内。
• 任何具有单重丢番图表示的函数 g:N→N 必须满足：对所有充分大的 n，有 g(n) < f(n)。
• MuPAD 代码实现了一个无限循环，每次在足够高的迭代中返回 f(n)，证明了 f(n) 是极限可计算的。
• 尽管如此，f(n) 并不具有单重丢番图表示，其可计算性仍为开放问题。
• 该构造表明 f(n) 支配所有具有单重丢番图表示的函数，凸显了极限可计算性与可表示性之间的差距。