[论文解读] A Limit in Law for the Cover Time and Last Visited Vertex of Wired Planar Domains

Oren Louidor, Santiago Saglietti|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2026

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 0

一句话总结

本论文建立了有线平面域的格子近似的覆盖时间与最后访问顶点的联合缩放极限，显示覆盖时间服从随机平移的 Gumbel 分布，最后访问顶点服从 Liouville 量度，与 DGFF 极值过程的耦合相联系。

ABSTRACT

We derive a scaling limit in law for the cover time of a simple random walk on a lattice version of a scaled-up planar domain with wired boundary conditions. The limiting distribution is that of a Gumbel Random Variable shifted randomly by an independent quantity which is equal to the full mass of a variant of the critical Liouville Quantum Gravity Measure on the same domain. We also derive a limit in law for the scaled location of the vertex visited last by the walk. Here the limit turns out to be precisely the critical Liouville Measure, normalized by its total mass. Both limits hold jointly with the limiting joint law explicitly described. These results resolve well known open problems in the field, in the case of wired boundary conditions. The proof is based on comparison with the extremal landscape of the discrete Gaussian Free Field, and in particular a version there-of obtained by conditioning the average value of the field to be zero.

研究动机与目标

• 理解带有有线边界的平面域上的随机游走极端时间统计的动机与意义。
• 随着域的尺寸增大，推导覆盖时间与最后访问顶点位置的联合缩放极限。
• 将这些极限与离散高斯自由场（DGFF）的极值统计以及李维利量子引力（Liouville quantum gravity）测度联系起来。
• 提供一个严格的耦合框架，将极值 DGFF 与描述极限的 Liouville 测度联系起来。

提出的方法

• 用带有有线边界条件的晶格 D_N 建模域，并分析连续时间简单随机游走 X。
• 利用边界处的局部时间重新参数化时间，并将执行过程分为两阶段 A 与 B，设定相应时间。
• 研究 DGFF h_N 在 D_N 上的多尺度最小极值过程及其零均值变体。
• 使用 DGFF 极值过程与 Liouville 量度 Z_D 之间的耦合来描述极限分布。
• 推导重新缩放后的覆盖时间与最后访问顶点的显式极限分布，显示 Gumbel 偏移以及与 Z_D 成正比的最后访问规律。

实验结果

研究问题

• RQ1 在晶格规模增大时，有线平面域的覆盖时间与最后访问顶点的联合分布（以分布形式）是什么？
• RQ2 该联合极限如何与同一域上离散高斯自由场的极值统计相关？
• RQ3 是否可通过 Liouville quantum gravity 测度及其与 DGFF 的耦合来描述极限分布？
• RQ4 在覆盖时间的极限分布中是否出现随机平移？若出现，该平移如何定量化？
• RQ5 在极限中极值 DGFF、场的平均值与 Liouville 流形之间的精确联合规律结构是什么？

主要发现

• 存在覆盖时间与最后访问顶点的联合弱尺度极限（当 N→∞）。
• 覆盖时间极限为一个被与对象 cLQGM 的质量与场平均相关的独立随机项所偏移的 Gumbel 随机变量。
• 最后访问顶点收敛到对域归一化为概率测度的临界 Liouville 测度。
• 存在一个将 DGFF 极值过程、场平均与 cLQGM 精准耦合的结构，为极限定律提供支撑。
• 结果将对数相关极值理论、高斯乘法噪声与有线平面几何的联系揭示出来。