[论文解读] A limit theorem for the contour process of conditioned Galton-Watson trees

Thomas Duquesne|ArXiv.org|Sep 22, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 23

一句话总结

该论文为条件于固定总后代数的Galton-Watson树的轮廓过程与高度过程建立了功能性极限定理，表明在适当的缩放下，这些过程收敛于与$α$-稳定连续状态分支过程（$α \in (1,2]$）相关的连续高度过程的归一化桥。关键结果将Aldous的连续随机树结果推广至无限方差情形，识别出$α$-稳定连续随机树为这类条件Galton-Watson树的普遍缩放极限。

ABSTRACT

In this work, we study asymptotics of the genealogy of Galton--Watson processes conditioned on the total progeny. We consider a fixed, aperiodic and critical offspring distribution such that the rescaled Galton--Watson processes converges to a continuous-state branching process (CSBP) with a stable branching mechanism of index $α\in (1, 2]$. We code the genealogy by two different processes: the contour process and the height process that Le Gall and Le Jan recently introduced \cite{LGLJ1, LGLJ1}. We show that the rescaled height process of the corresponding Galton--Watson family tree, with one ancestor and conditioned on the total progeny, converges in a functional sense, to a new process: the normalized excursion of the continuous height process associated with the $α$-stable CSBP. We deduce from this convergence an analogous limit theorem for the contour process. In the Brownian case $α=2$, the limiting process is the normalized Brownian excursion that codes the continuum random tree: the result is due to Aldous who used a different method.

研究动机与目标

• 为条件于固定总后代数的Galton-Watson树的高度过程与轮廓过程建立功能性极限定理。
• 将Aldous关于布朗运动连续随机树的结果推广至无限方差后代分布的情形。
• 将条件Galton-Watson树的普遍缩放极限表征为$α \in (1,2]$时$α$-稳定连续高度过程的归一化桥。
• 通过功能性收敛，统一离散Galton-Watson树的系谱结构与连续状态分支过程。

提出的方法

• 使用高度过程与轮廓过程作为离散树编码机制，二者均源自与后代分布相关的左连续随机游动的跳跃分布。
• 应用Kersting提出的离散桥技术处理固定总后代数的条件，利用与无条件随机游动的绝对连续性关系。
• 通过$\mathbb{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$上的Skorokhod拓扑，建立缩放后高度过程弱收敛于$α$-稳定连续高度过程的归一化桥。
• 利用高度过程的指数为$\alpha/(α-1)$的标度性质，使其与离散过程的标度相匹配。
• 使用Lamperti的时间改变Lévy过程表示，将离散随机游动与具有稳定分支机制$\psi(\lambda) = c\lambda^\alpha$的连续状态分支过程联系起来。
• 证明依赖于离散桥收敛于布朗运动或稳定桥的结论，以及在收缩区间上对上确界的统一控制，以建立紧致性与功能性收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当后代分布属于指数$\alpha \in (1,2]$的稳定分布的吸引域时，条件于固定总后代数的Galton-Watson树的缩放后高度过程是否在功能性意义下收敛于一个普遍极限？
• RQ2 在相同设定下，轮廓过程的功能极限定理是否可由高度过程的收敛性推导得出？
• RQ3 极限对象是否为与$\alpha$-稳定CSBP相关的连续高度过程的归一化桥，从而推广Aldous对布朗运动情形（$\alpha=2$）的结果？
• RQ4 在固定总后代数的条件下，高度过程的精确标度行为是什么？其与稳定CSBP有何关联？

主要发现

• 临界、非周期性的Galton-Watson树，其后代分布属于$α$-稳定分布的吸引域（$α \in (1,2]$），其缩放后高度过程依分布收敛于与$α$-稳定CSBP相关的连续高度过程的归一化桥。
• 收敛性在$\mathbb{D}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$上的Skorokhod拓扑下成立，确立了系谱结构的功能极限定理。
• 极限过程被识别为$α$-稳定连续随机树，该结果将Aldous的布朗运动连续随机树推广至无限方差情形。
• 轮廓过程的收敛性可通过高度过程与两过程之间的功能性关系得出。
• 通过控制时间1附近收缩区间上高度过程的上确界，利用离散桥与绝对连续性的性质，证明了紧致性。
• 通过极限过程计算了$α$-稳定连续随机树的有限维矩，确认与文献中已知结果一致。