[论文解读] A limiting random analytic function related to the CUE

Reda Chhaibi, Joseph Najnudel+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明，在经过适当的时空缩放后，哈尓分布的随机酉矩阵的特征多项式几乎必然收敛到一个极限的随机解析函数。该极限函数的实零点构成一个具有正弦核的确定性点过程，尽管CUE（圆酉系族）特征多项式不存在有限的一阶矩，这仍提供了一个非平凡的缩放极限。

ABSTRACT

We show in this paper that, when properly rescaled in time and in space, the characteristic polynomial of a random unitary matrix converges almost surely to a random analytic function whose zeros, which are on the real line, form a determinantal point process with sine kernel. We prove this result in the framework of virtual isometries to circumvent the fact that the rescaled characteristic polynomial does not even have a moment of order one, hence making the classical techniques of random matrix theory difficult to apply.

研究动机与目标

• 建立由随机酉矩阵特征多项式导出的极限随机解析函数存在的证明。
• 解决缩放后特征多项式缺乏有限一阶矩的问题，使得经典收敛技术无法适用。
• 证明极限函数的零点构成具有正弦核的确定性点过程，与随机矩阵理论和数论的预测一致。
• 利用虚等距（virtual isometries）耦合不同维数的酉群，即使在非一致可积的情况下，也实现几乎必然收敛。

提出的方法

• 作者利用虚等距将各维数 $n$ 上的哈尓分布酉矩阵 $U_n$ 耦合，确保其边缘分布一致。
• 通过在 $e^{2iz\theta/n}$ 处求值并以 $Z_n(1)$ 归一化，对特征多项式 $Z_n(z)$ 进行缩放，形成比值 $\xi_n(z) = Z_n(e^{2iz\pi/n}) / Z_n(1)$。
• 利用 [MNN13] 中对特征值的精细估计以及正弦核确定性点过程的性质，证明 $\xi_n(z)$ 几乎必然局部一致收敛到极限整函数 $\xi_\infty(z)$。
• 收敛性在 $\mathbb{C}$ 上连续函数空间中，以紧集上一致收敛的拓扑方式建立。
• 作者推导出 $\xi_\infty(z)$ 的矩界与增长估计，证明 $|\xi_\infty(z)| \leq \exp O(|z|\log(2+|z|))$，并通过零点的乘积表示得到匹配的下界。
• 通过 $P_{\alpha+1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{1}{y_k^{\alpha+1}}$ 表达逆零点的幂和，将其与含 $R_\alpha(e^{ix})$ 的符号的托普利茨行列式联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 缩放后的随机酉矩阵特征多项式是否收敛到一个非退化的极限随机解析函数？
• RQ2 极限函数的零点集能否被表征为具有正弦核的确定性点过程？
• RQ3 当缩放后的特征多项式缺乏有限一阶矩时，如何建立几乎必然收敛？
• RQ4 $\xi_\infty(z_1), \dots, \xi_\infty(z_p)$ 的联合有限维分布是什么？
• RQ5 是否存在随机矩阵版本的Keating-Snaith关于黎曼zeta函数矩的猜想？

主要发现

• 缩放后的特征多项式 $\xi_n(z) = Z_n(e^{2iz\pi/n}) / Z_n(1)$ 在 $\mathbb{C}$ 上的局部一致收敛拓扑下，几乎必然收敛到极限整函数 $\xi_\infty(z)$。
• 函数 $\xi_\infty(z)$ 的零点几乎必然为实数，并构成具有正弦核的确定性点过程，其关联函数为 $\rho_r(x_1,\dots,x_r) = \det\left(\frac{\sin[\pi(x_j - x_k)]}{\pi(x_j - x_k)}\right)_{j,k=1}^r$。
• 极限函数满足几乎必然的生长界 $|\xi_\infty(z)| \leq \exp O(|z|\log(2+|z|))$。
• 通过乘积表示得到下界 $|\xi_\infty(ix)| \geq \prod_{k \geq 1} \left(1 + \frac{x^2}{c k^2}\right)$，由此推出 $|\xi_\infty(ix)| \geq \frac{\sinh(\pi x / \sqrt{c})}{\pi x / \sqrt{c}}$，其中 $c > 0$ 为某随机常数。
• $\xi_\infty(z_1), \dots, \xi_\infty(z_p)$ 的联合分布被表征为 $p$ 个点上特征多项式比值的极限，且收敛在分布意义下成立。
• 幂和 $P_{\alpha+1} = \sum_k y_k^{-\alpha-1}$ 与含 $R_\alpha(e^{ix})$ 的符号的托普利茨行列式相关联，从而可通过 $\mathbb{E}[\exp(-2i\lambda P_{\alpha+1})] = \lim_n D_n(\phi_n)$ 实现矩的计算。