[论文解读] A Linear, Decoupled and Energy stable scheme for smectic-A Liquid Crystal Flows

Xiaofeng Yang, A. V. Brylev|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2017

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提出了一种线性、解耦且无条件能量稳定的时间半隐式格式，用于模拟由不可压缩的Navier-Stokes方程与两个二阶椭圆方程（分别描述取向场和层序参数）耦合而成的非线性系统所控制的smectic-A液晶流动。通过对外部非线性项采用显式-隐式处理方式，该格式实现了无条件能量稳定性，并在每个时间步长求解线性、解耦的方程，从而实现高效且鲁棒的长时间模拟，且可证明能量耗散。

ABSTRACT

In this paper, we consider numerical approximations for the model of smectic-A liquid crystal flows. The model equation, that is derived from the variational approach of the de Gennes free energy, is a highly nonlinear system that couples the incompressible Navier-Stokes equations, and two nonlinear coupled second-order elliptic equations. Based on some subtle explicit--implicit treatments for nonlinear terms, we develop a unconditionally energy stable, linear and decoupled time marching numerical scheme. We also rigorously prove that the proposed scheme obeys the energy dissipation law at the discrete level. Various numerical simulations are presented to demonstrate the accuracy and the stability thereafter.

研究动机与目标

• 为建模smectic-A液晶流动的复杂非线性系统，开发一种数值高效且热力学一致的格式。
• 解决由于对流项和应力项导致的速度、压力、取向场与层函数之间的强耦合问题。
• 构建一种无条件稳定的时间半隐式格式，使离散能量耗散律在离散层面得以保持。
• 在每个时间步长实现线性且解耦的方程，避免求解昂贵的非线性系统。
• 验证该格式在精度、稳定性方面的能力，以及捕捉磁场所诱导的双锥形图案和剪切流等物理现象的能力。

提出的方法

• 采用非线性项显式处理与线性项隐式处理相结合的方式，设计了一种稳定的时间半隐式格式。
• 该格式在每个时间步长将系统分解为速度、压力、取向场与层函数的独立线性方程。
• 采用一种精巧的分裂策略来处理非线性对流项与应力项，确保能量稳定性。
• 严格证明了离散能量律，表明能量耗散无条件成立，且与时间步长大小无关。
• 采用有限差分或有限元空间半隐式格式进行实现，并施加适当的边界条件。
• 数值实验通过收敛性分析与长时间模拟验证了该格式的一阶时间精度与能量稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为高度非线性的smectic-A液晶模型构造一种线性且解耦的时间半隐式格式，同时保持能量稳定性？
• RQ2 如何在每个时间步长避免求解非线性系统的情况下，处理速度、压力、取向场与层函数之间的强耦合？
• RQ3 在离散设置下，何种非线性项的显式-隐式处理方式可确保无条件能量稳定性？
• RQ4 该格式能否准确捕捉由磁场和剪切流诱导的物理现象，如双锥形图案？
• RQ5 该格式在长时间模拟中是否保持一阶时间精度与能量耗散特性？

主要发现

• 所提出的格式实现了无条件能量稳定性，即无论时间步长大小如何，离散能量在每个时间步均单调递减。
• 该格式为线性且解耦，每个时间步分别求解速度、压力、取向场与层函数的线性系统，显著降低了计算成本。
• 数值收敛性测试确认该格式对所有变量均具有一阶时间精度，误差斜率与理论预期一致。
• Helfrich-Hurault效应的模拟显示，在磁场作用下形成双锥形图案，能量耗散曲线证实了格式的稳定性。
• 引入剪切流后，波动的对称性被破坏，表明该格式能够捕捉复杂的流体动力学效应。
• 在长时间模拟中，能量耗散曲线始终保持单调递减，验证了该格式在长时间动力学模拟中的鲁棒性。