[论文解读] A Linear-Optical Proof that the Permanent is #P-Hard

Scott Aaronson|Sep 8, 2011

graph theory and CDMA systems被引用 13

一句话总结

本文提出了一种基于量子计算的新证明，表明计算整数矩阵的永久值是#P-难问题，该证明利用线性光学量子计算和后选择（postselection）。通过证明n光子线性光学电路中的振幅对应于n×n矩阵的永久值，并利用后选择线性光学在量子计算中的通用性，作者以更直观、基于物理的量子力学方法重新推导出Valiant的奠基性结果。

ABSTRACT

One of the crown jewels of complexity theory is Valiant's 1979 theorem that computing the permanent of an n*n matrix is #P-hard. Here we show that, by using the model of linear-optical quantum computing---and in particular, a universality theorem due to Knill, Laflamme, and Milburn---one can give a different and arguably more intuitive proof of this theorem.

研究动机与目标

• 提供Valiant定理的另一种、更直观的证明，即计算永久值是#P-难问题。
• 证明永久值的#P-难性可从线性光学量子计算和后选择的原理推导得出。
• 表明量子计算为重新推导基本复杂性结果提供了一个高层级框架，具有更清晰的物理语义。
• 确立近似计算永久值或其符号也是#P-难问题，将难解性结果扩展至近似计算和符号计算。

提出的方法

• 利用KLM通用性定理，该定理表明后选择线性光学可实现通用量子计算。
• 将n光子线性光学电路中的量子振幅表示为n×n矩阵的永久值。
• 构建一个量子线路，通过将满足赋值的数量编码为矩阵的永久值，来模拟#P计算。
• 通过一系列量子门（包括Toffoli门和CSIGN门）将永久值计算问题约化为量子振幅计算。
• 应用后选择以投影到特定测量结果，从而在矩阵的永久值中编码#P-难振幅。
• 将矩阵元素截断为有限精度并进行缩放，得到一个整数矩阵，其永久值精确编码原始#P计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用量子计算原理而非组合构件（combinatorial gadgets）重新推导永久值的#P-难性？
• RQ2 后选择线性光学是否为理解永久值复杂性的物理意义提供了有意义的框架？
• RQ3 能否通过量子后选择确立计算永久值符号或大小的难解性？
• RQ4 是否存在从#P问题到永久值的直接约化，从而绕过如#3SAT等中间约化步骤？
• RQ5 量子后选择对永久值近似难度有何影响？

主要发现

• 整数矩阵的永久值是#P-难计算的，该结论通过将#P计算约化为线性光学量子振幅（即永久值）的构造得以证明。
• 该证明表明，计算整数矩阵永久值的符号在图灵约化下也是#P-难的。
• 任何乘法因子范围内的永久值近似都是#P-难的，因为即使确定符号也需解决一个#P-完全问题。
• 相同的约化表明，对|Per(A)|或Per(A)²进行任意多项式因子范围内的近似也是#P-难的。
• 该构造是自包含的，论文中包含了量子通用性证明以及门构造（如从CSIGN门构造Toffoli门）的证明。
• 该方法避免依赖环覆盖（cycle covers）或组合构件，为Valiant原始证明提供了一种基于物理动机的替代方案。