[论文解读] A Linear-time Algorithm for Orthogonal Watchman Route Problem with Minimum Bends

Hamid Hoorfar, Alireza Bagheri|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 7

一句话总结

本文提出了首个针对单调多边形和路径多边形中最小弯折正交守望者路径问题的线性时间算法。通过垂直分解多边形、修剪凹角矩形，并战略性地选择水平对齐线段以最小化弯折次数，该算法在 O(n) 时间和空间内计算出最短的正交守望者路径，实现了该问题变体的最优效率。

ABSTRACT

Given an orthogonal polygon $ P $ with $ n $ vertices, the goal of the watchman route problem is finding a path $ S $ of the minimum length in $ P $ such that every point of the polygon $ P $ is visible from at least one of the point of $ S $. In the other words, in the watchman route problem we must compute a shortest watchman route inside a simple polygon of $ n $ vertices such that all the points interior to the polygon and on its boundary are visible to at least one point on the route. If route and polygon be orthogonal, it is called orthogonal watchman route problem. One of the targets of this problem is finding the orthogonal path with the minimum number of bends as possible. We present a linear-time algorithm for the orthogonal watchman route problem, in which the given polygon is monotone. Our algorithm can be used also for the problem on simple orthogonal polygons $ P $ for which the dual graph induced by the vertical decomposition of $ P $ is a path, which is called path polygon.

研究动机与目标

• 解决具有最小弯折数的正交多边形中的浮动守望者路径问题。
• 为单调正交多边形开发线性时间算法，其垂直分解的对偶图是一条路径。
• 将解决方案扩展至路径多边形——即其垂直分解对偶图为路径的正交多边形——实现最优的 O(n) 时间复杂度。
• 为具有正交运动约束的环境中的机器人监控提供实用且高效的解决方案。

提出的方法

• 应用垂直分解将正交多边形划分为矩形，形成类似路径的对偶图。
• 识别路径多边形中的凹角矩形并将其移除，以将多边形分解为单调子多边形。
• 对每个单调子多边形执行平衡分解，以支持高效的路径构建。
• 基于边高的局部极大值和极小值，为每个矩形选择最优的水平对齐线段（y 坐标）以最小化弯折次数。
• 通过垂直线段连接子多边形之间的路径，形成单一闭合的正交守望者路径。
• 将算法分为三个顺序阶段执行：分解、修剪和对齐选择，每个阶段的时间复杂度均为 O(n)。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在线性时间内求解单调正交多边形中的最小弯折正交守望者路径问题？
• RQ2 如何利用路径多边形的结构——即其垂直分解对偶图为路径的特性——以实现线性时间复杂度？
• RQ3 何种策略可确保所选对齐线段能最小化最终守望者路径的弯折次数？
• RQ4 是否能够将单调多边形的线性时间解法推广至更广泛的正交多边形类别，如路径多边形？

主要发现

• 所提出的算法实现了 O(n) 的时间与空间复杂度，这是最优的，因为每个顶点至少需要被访问一次。
• 该算法成功计算出单调正交多边形中弯折次数最少的最短正交守望者路径。
• 通过移除凹角矩形将路径多边形分解为单调子多边形，实现了对路径多边形的解法推广。
• 路径构建依赖于基于水平边高度的局部极大值和极小值选择对齐线段，从而确保弯折次数最少。
• 最终的守望者路径通过垂直线段连接子路径构成，同时保持最优性与正交性。
• 该算法是首个实现浮动正交守望者路径问题中最小弯折数的线性时间复杂度的算法。