[论文解读] A linear-time algorithm for the maximum-area inscribed triangle in a convex polygon

Yoav Kallus|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文提出了一种线性时间算法，用于计算具有 n 个顶点的凸多边形中内接最大面积三角形，纠正了 Dobkin 和 Snyder 提出的 flawed O(n) 算法。通过利用锚定三角形——即一个边与固定方向平行的三角形——该方法利用几何性质和凸优化高效地探索候选三角形，实现了 O(n) 的时间复杂度，从而解决了计算几何领域长期存在的开放问题。

ABSTRACT

Given the n vertices of a convex polygon in cyclic order, can the triangle of maximum area inscribed in P be determined by an algorithm with O(n) time complexity? A purported linear-time algorithm by Dobkin and Snyder from 1979 has recently been shown to be incorrect by Keikha, Löffler, Urhausen, and van der Hoog. These authors give an alternative algorithm with O(n log n) time complexity. Here we give an algorithm with linear time complexity.

研究动机与目标

• 解决凸 n 边形中最大面积内接三角形是否可在线性时间 O(n) 内计算的开放问题。
• 纠正 Dobkin 和 Snyder（1979 年）提出的 flawed O(n) 算法，该算法最近被发现在某些 9 边形上会失效。
• 为最大面积内接三角形问题开发一种正确且高效的 O(n) 时间复杂度算法。
• 引入并利用锚定三角形的概念——即对某一固定边法线方向，使三角形面积最大化——作为关键结构工具。
• 证明最大面积内接三角形的三个顶点必定位于多边形边界上，且其唯一锚定于各边的外法线方向。

提出的方法

• 将锚定三角形定义为：对某一固定外法线方向的边，其面积在所有具有该法线方向的三角形中最大。
• 利用几何性质：对于固定方向 u，锚定在 u 上的三角形其第三个顶点位于方向 -u 的支撑线与多边形接触的点上。
• 在方向 u ∈ S¹ 上参数化搜索，并利用锚定顶点 a(u) 的分段常数性质以及 b(u)、c(u) 的连续性，实现高效遍历。
• 采用类似旋转卡钳的技术，随着方向 u 的旋转逐步更新三角形顶点，使用分段线性函数 f(y) 和 g(y) 表示多边形在垂直于 u 的方向上的范围。
• 利用面积函数 s(y) = √[(1/2)(y - y_min)(f(y) + g(y))] 的凸性，确保局部最大值即为全局最大值，从而实现高效优化。
• 在多边形顶点上实现双指针遍历，动态调整参数 s_b 和 s_c，以跟踪方向旋转过程中的最优三角形，使用关键转折点的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 凸 n 边形中的最大面积内接三角形是否可在线性时间 O(n) 内计算？
• RQ2 Dobkin-Snyder 算法为何失效？其正确的结构性缺陷是什么？
• RQ3 通过将子问题从有根三角形重新定义为锚定三角形，能否实现线性时间求解？
• RQ4 哪些几何性质确保最大面积内接三角形由其边法线方向和顶点位置唯一确定？
• RQ5 如何利用多边形支撑函数的分段线性和凸结构，实现 O(n) 的时间复杂度？

主要发现

• 本文提出了一种正确且 O(n) 时间复杂度的算法，用于计算凸多边形中最大面积内接三角形，解决了计算几何领域长期存在的开放问题。
• 该算法基于锚定三角形的概念，即三角形对某一固定边外法线方向达到面积最大。
• 最大面积三角形始终锚定于其三条边的外法线方向，且其三个顶点均为多边形的顶点。
• 通过以旋转卡钳方式遍历多边形顶点，并使用参数化三角形顶点中关键转折点的闭式表达式，该方法实现了 O(n) 的时间复杂度。
• 当锚定顶点 a(u) 位于多边形的某条边上时，算法通过选择逆时针方向的端点作为唯一代表，正确处理了此类边界情况。
• 该方法通过聚焦于锚定三角形而非有根三角形，避免了先前方法的 O(n log n) 时间复杂度，从而实现了更高效且正确的解决方案。