[论文解读] A local-global principle for preordered semirings and abstract Positivstellens\"atze

T. A. Fritz|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文建立了预序半环的局部-整体原则，通过映射到探测实谱点无穷小邻域的测试代数，将代数序结构与几何序联系起来。核心贡献是为预序半域建立了一个抽象的非阿基米德Positivstellensatz，表明半域的预序等于其全序扩张的交集，同时在拟序环方面进行了基础性发展，并应用于随机游走的渐近分类。

ABSTRACT

Motivated by trying to find a new proof of Artin's theorem on positive polynomials, we state and prove a Positivstellensatz for preordered semirings in the form of a local-global principle. It relates the given algebraic order on a suitably well-behaved semiring to the geometrical order defined in terms of a probing by homomorphisms to test algebras. We introduce and study the latter as structures intended to capture the behaviour of a semiring element in the infinitesimal neighbourhoods of a real point of the real spectrum. As first applications of our local-global principle, we prove two abstract non-Archimedean Positivstellensatze. The first one is a non-Archimedean generalization of the classical Positivstellensatz of Krivine-Kadison-Dubois, while the second one is deeper. A companion paper will use our second Positivstellensatz to derive an asymptotic classification of random walks on locally compact abelian groups. As an important intermediate result, we develop an abstract Positivstellensatz for preordered semifields which states that a semifield preorder is always the intersection of its total extensions. We also introduce quasiordered rings and develop some of their theory. While these are related to Marshall's $T$-modules, we argue that quasiordered rings offer an improved definition which puts them among the basic objects of study for real algebra.

研究动机与目标

• 开发一个局部-整体原则，将预序半环中的代数序与通过映射到测试代数所定义的几何序联系起来。
• 通过抽象代数方法，将经典的Positivstellens"atze（特别是Krivine-Kadison-Dubois）推广到非阿基米德设置。
• 证明半域上的预序等于其全序扩张的交集，这是抽象实代数中的一个基础性结果。
• 引入并研究拟序环，作为Marshall的T-模的改进替代品，将其定位为实代数中的核心对象。
• 为未来应用奠定基础，包括对局部紧阿贝尔群上随机游走的渐近分类。

提出的方法

• 通过将具有良好行为的半环上的代数序与映射到测试代数所诱导的几何序相关联，制定局部-整体原则。
• 将测试代数定义为建模半环元素在实谱中实点的无穷小邻域行为的结构。
• 使用抽象序理论和代数技术，证明半域上的预序等于其全序扩张的交集。
• 将拟序环引入为T-模的推广，其在实代数应用中具有更优的结构性质。
• 应用局部-整体原则，推导出两个抽象的非阿基米德Positivstellens"atze，其中一个推广了Krivine-Kadison-Dubois定理。
• 将第二个Positivstellensatz作为未来关于局部紧阿贝尔群上随机游走渐近分类的配套论文的基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何制定一个局部-整体原则，以关联预序半环中代数序与几何序？
• RQ2 在抽象实代数的语境下，半域上的预序与其全序扩张之间的确切关系是什么？
• RQ3 如何通过抽象代数结构将经典的Krivine-Kadison-Dubois Positivstellensatz推广到非阿基米德设置？
• RQ4 拟序环在何种意义上优于Marshall的T-模，作为实代数中的基础性对象？
• RQ5 测试代数的何种结构性质使其能够捕捉半环元素在实谱点处的无穷小行为？

主要发现

• 半域上的预序恰好等于其全序扩张的交集，为抽象实代数提供了一个基础性表征。
• 局部-整体原则成功地将预序半环上的代数序与通过映射到测试代数所定义的几何序联系起来。
• 证明了一个抽象的非阿基米德Positivstellensatz，将经典的Krivine-Kadison-Dubois定理推广到非阿基米德设置。
• 引入拟序环作为比T-模更精细且更自然的框架，用于研究实代数结构。
• 该框架深化了对预序半环的结构性理解，并为未来应用（如局部紧阿贝尔群上随机游走的渐近分类）提供了工具。