[论文解读] A local limit theorem for random walks in random scenery and on randomly oriented lattices

Fabienne Castell, Nadine Guillotin‐Plantard+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 36被引用 30

一句话总结

本文建立了随机环境中随机游动（RWRS）及随机定向格点上随机游动的局部极限定理，证明了当 $ n \to \infty $ 时，概率质量函数 $ \mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor) $ 的渐近行为，其中 $ \delta = 1 - \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha\beta} $，在步长与环境分布属于稳定分布域（稳定指数 $ \alpha, \beta \in (0,2] $）的假设下成立。关键结果表明，该概率收敛于与稳定过程相关的密度函数，将功能极限定理推广至局部概率尺度。

ABSTRACT

Random walks in random scenery are processes defined by $Z_n:=\\sum_{k=1}^n\\xi_{X_1+...+X_k}$, where $(X_k,k\\ge 1)$ and $(\\xi_y,y\\in\\mathbb Z)$ are two independent sequences of i.i.d. random variables. We assume here that their distributions belong to the normal domain of attraction of stable laws with index $\\alpha\\in (0,2]$ and $\\beta\\in (0,2]$ respectively. These processes were first studied by H. Kesten and F. Spitzer, who proved the convergence in distribution when $\\alpha\ eq 1$ and as $n\ o \\infty$, of $n^{-\\delta}Z_n$, for some suitable $\\delta>0$ depending on $\\alpha$ and $\\beta$. Here we are interested in the convergence, as $n\ o \\infty$, of $n^\\delta{\\mathbb P}(Z_n=\\lfloor n^{\\delta} x\ floor)$, when $x\\in \\RR$ is fixed. We also consider the case of random walks on randomly oriented lattices for which we obtain similar results.

研究动机与目标

• 在步长与环境分布属于稳定分布域的假设下，建立随机环境中随机游动（RWRS）的局部极限定理。
• 将 Kesten 与 Spitzer 的功能极限定理推广至局部概率尺度，刻画 $ \mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor) $ 在 $ n \to \infty $ 时的渐近行为。
• 分析随机定向格点上随机游动的情形，证明相应的局部极限定理。

提出的方法

• 分析依赖于表示式 $ Z_n = \sum_y \xi_y N_n(y) $，其中 $ N_n(y) $ 为随机游动在位置 $ y $ 的局部时，以及局部时与环境过程的联合渐近收敛。
• 采用标度极限 $ n^{-\delta}Z_{nt} \Rightarrow \Delta(t) $，其中 $ \Delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty} L_t(x) \, dY(x) $，$ L_t(x) $ 为稳定 Lévy 过程的局部时，$ Y(x) $ 为具有稳定增量的 Lévy 过程。
• 关键技术工具是利用矩不等式与集中不等式控制随机游动的范围 $ R_n $，特别是证明 $ \mathbb{P}(\mathcal{R}_n) = 1 - \mathcal{O}(\exp(-Cn^\gamma)) $，其中 $ \gamma \in (0,1/\alpha) $，以确保范围的典型行为。
• 通过利用尾部概率的次乘性性质 $ \mathbb{P}(R_n \geq a+b) \leq \mathbb{P}(R_n \geq a)\mathbb{P}(R_n \geq b) $ 控制大偏差。
• 对于下尾，采用区间分解与独立同分布块估计的方法，以控制 $ \mathbb{P}(R_n \leq \mathbb{E}[R_n]n^{-\gamma}) $，通过范围集中在其均值附近的性质，证明其指数衰减。
• 通过将相同标度与集中技术适配至定向情形，将结果推广至随机定向格点。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有独立同分布增量及位于稳定分布域内的环境的随机环境中随机游动，当 $ n \to \infty $ 时，局部概率 $ \mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor) $ 的渐近行为如何？
• RQ2 在何种精确标度指数 $ \delta $ 下，$ n^\delta \mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor) $ 收敛于非退化的密度函数？
• RQ3 在类似稳定分布假设下，局部极限定理是否可推广至随机定向格点上的随机游动？
• RQ4 随机游动范围 $ R_n $ 的集中性质如何影响 $ Z_n $ 的局部极限行为？
• RQ5 能否将 $ Z_n $ 的有限维分布收敛性加强为密度意义上的局部收敛？

主要发现

• 本文证明了 $ n^\delta \mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor) $ 收敛于与稳定过程 $ \Delta(t) $ 的密度成比例的密度函数，其中 $ \delta = 1 - \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha\beta} $，且 $ \alpha > 1 $。
• 当 $ \alpha < 1 $ 时，标度为 $ n^{1/\beta} $，且极限局部概率与稳定过程 $ Y(t) $ 及期望总局部时 $ \mathbb{E}[\widetilde{N}_\infty(0)]^{1/\beta} $ 相关。
• 集中结果 $ \mathbb{P}(\mathcal{R}_n) = 1 - \mathcal{O}(\exp(-Cn^\gamma)) $ 对任意 $ \gamma \in (0,1/\alpha) $ 成立，确保范围 $ R_n $ 通常在均值的多项式因子范围内。
• 通过次乘性与马尔可夫型不等式控制 $ R_n $ 的上尾，得到 $ \mathbb{P}(R_n \geq \mathbb{E}[R_n]n^\gamma) \leq \exp(-Cn^\gamma) $，对大 $ n $ 成立。
• 通过区间分解与独立同分布块分析控制下尾，得到 $ \mathbb{P}(R_n \leq \mathbb{E}[R_n]n^{-\gamma}) \leq \mathbb{P}(R_{l_n} \leq \mathbb{E}[R_{l_n}]/2)^N $，其中 $ N \sim c n^{\gamma} $，且概率呈指数衰减。
• 在相同标度与稳定性假设下，结果可推广至随机定向格点，建立了相应的局部极限定理。