[论文解读] A Local Spectral Method for Graphs: with Applications to Improving Graph Partitions and Exploring Data Graphs Locally

Michael W. Mahoney, Lorenzo Orecchia+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2009

Complex Network Analysis Techniques被引用 6

一句话总结

本文提出了一种局部偏向的谱方法，将图拉普拉斯矩阵的全局第二特征向量推广至聚焦于种子集合附近的局部结构。通过引入局部性约束重新表述谱优化问题，该方法以近乎线性时间计算出一个向量，揭示局部聚类和稀疏割，从而实现对数据图的高效半监督探索。

ABSTRACT

The second eigenvalue of the Laplacian matrix and its associated eigenvector are fundamental features of an undirected graph, and as such they have found widespread use in scientific computing, machine learning, and data analysis. In many applications, however, graphs that arise have several \\emph{local} regions of interest, and the second eigenvector will typically fail to provide information fine-tuned to each local region. In this paper, we introduce a locally-biased analogue of the second eigenvector, and we demonstrate its usefulness at highlighting local properties of data graphs in a semi-supervised manner. To do so, we first view the second eigenvector as the solution to a constrained optimization problem, and we incorporate the local information as an additional constraint; we then characterize the optimal solution to this new problem and show that it can be interpreted as a generalization of a Personalized PageRank vector; and finally, as a consequence, we show that the solution can be computed in nearly-linear time. In addition, we show that this locally-biased vector can be used to compute an approximation to the best partition \\emph{near} an input seed set in a manner analogous to the way in which the second eigenvector of the Laplacian can be used to obtain an approximation to the best partition in the entire input graph. Such a primitive is useful for identifying and refining clusters locally, as it allows us to focus on a local region of interest in a semi-supervised manner. Finally, we provide a detailed empirical evaluation of our method by showing how it can applied to finding locally-biased sparse cuts around an input vertex seed set in social and information networks.

研究动机与目标

• 为解决全局谱方法在检测局部图结构方面的局限性，特别是当感兴趣区域较小时或局部集中时。
• 开发一种通过种子集合引入局部信息的谱方法，实现对数据图的半监督分析。
• 提供一种理论基础坚实且计算高效的替代方案，用于局部聚类和割检测，替代全局特征向量。
• 证明局部偏向向量继承了关键谱性质，如导出率界和随机游走混合时间估计，同时聚焦于局部区域。
• 实现实际应用，例如改进图划分和探索大规模社交网络与信息网络中的社区结构。

提出的方法

• 该方法通过引入要求解向量与给定种子集合或顶点分布具有良好相关性的局部性约束，重新定义了全局谱优化问题。
• 所得优化问题称为 LocalSpectral，被证明等价于在归一化范数和涉及种子集合的相关性约束下，最小化图拉普拉斯二次型。
• 最优解被表征为广义个性化 PageRank 向量，从而可通过求解线性系统实现高效计算。
• 该方法使用迭代求解器在近乎线性时间内计算解，使其可扩展至大规模图。
• 该解提供了导出率和混合时间的理论界，将局部结构与谱性质联系起来。
• 该方法支持一种扫掠割程序，用于提取局部偏向的稀疏割，类似于全局谱方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将谱方法调整为聚焦于局部图结构而非全局性质？
• RQ2 如何定义并高效计算一个局部偏向的特征向量，同时保持关键谱性质？
• RQ3 新方法能否在识别真实图中的局部聚类或稀疏割方面优于全局谱方法？
• RQ4 此类局部偏向向量的计算复杂度是多少？能否在近乎线性时间内完成？
• RQ5 局部偏向向量与现有割改进和社区检测算法有何关联？

主要发现

• LocalSpectral 问题的最优解可在近乎线性时间内计算，使其适用于大规模图。
• 该解在数学上等价于广义个性化 PageRank 向量，从而与已知的基于随机游走的方法相联系。
• 该方法基于解与种子向量的相关性，为割的导出率提供了下界，从而实现对局部稀疏性的理论保证。
• 该方法能够发现围绕给定种子集合的局部偏向稀疏割，在局部细化任务中优于全局谱方法。
• 实验评估表明，该方法能有效识别局部社区，并在社交网络和信息网络中改进图划分。
• 该方法成功应用于图像分割任务，通过少量标记像素实现了对感兴趣区域的定位。