[论文解读] A local systolic-diastolic inequality in contact and symplectic geometry

Gabriele Benedetti, Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Geometric and Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

该论文为闭3-流形上的Zoll接触形式与奇-辛形式建立了局部的舒缩-对偶不等式，证明在Zoll接触形式$\alpha_*$的$C^3$邻域内，接触体积被限制在$t_\Sigma T_{\min}(\alpha)^2$与$t_\Sigma T_{\max}(\alpha)^2$之间，且等式成立当且仅当$\alpha$为Zoll形式。该结果通过体积-作用多项式关系推广至奇-辛形式，恢复了已知的舒缩不等式，并将其扩展至磁测地线情形。

ABSTRACT

Let $Σ$ be a connected closed three-manifold, and let $t_Σ$ be the order of the torsion subgroup of $H_1(Σ;\mathbb Z)$. For a contact form $α$ on $Σ$, we denote by $\mathrm{Volume}(α)$ the contact volume of $α$, and by $T_{\min}(α)$ and $T_{\max}(α)$ the minimal period and the maximal period of prime periodic orbits of the Reeb flow of $α$ respectively. We say that $α$ is Zoll if its Reeb flow generates a free $S^1$-action on $Σ$. We prove that every Zoll contact form $α_*$ on $Σ$ admits a $C^3$-neighbourhood $\mathcal U$ in the space of contact forms such that \[ t_ΣT_{\min}(α)^2\leq \mathrm{Volume}(α)\leq t_ΣT_{\max}(α)^2,\qquad \forall\,α\in\mathcal U, \] and any of the equalities holds if and only if $α$ is Zoll. We extend the above picture to odd-symplectic forms $Ω$ on $Σ$ of arbitrary odd dimension. We define the volume of $Ω$, which generalises both the contact volume and the Calabi invariant of Hamiltonian functions, and the action of closed characteristics of $Ω$, which generalises both the period of periodic Reeb orbits and the action of fixed points of Hamiltonian diffeomorphisms. We say that $Ω$ is Zoll if its characteristics are the orbits of a free $S^1$-action on $Σ$. We prove that the volume and the action of a Zoll odd-symplectic form satisfy a certain polynomial equation. This builds the equality case of a conjectural local systolic-diastolic inequality for odd-symplectic forms, which we establish in some cases. This inequality recovers the inequality between the minimal action and the Calabi invariant of Hamiltonian isotopies $C^1$-close to the identity on a closed symplectic manifold, as well as the local contact systolic-diastolic inequality above. Finally, applications to magnetic geodesics are discussed.

研究动机与目标

• 在闭3-流形上建立Zoll接触形式的局部舒缩-对偶不等式，将接触体积与最小及最大Reeb轨道周期联系起来。
• 将舒缩-对偶框架从接触形式推广至任意奇维数的奇-辛形式，统一推广接触体积与Calabi不变量。
• 为奇-辛形式定义广义体积与作用量，并证明Zoll奇-辛形式满足关联这些不变量的多项式方程。
• 将已知的舒缩不等式（如在恒等映射附近同伦的哈密顿同伦与局部接触舒缩界）作为所提不等式的特例恢复。
• 探讨该框架在闭3-流形上磁测地线动力学中的应用。

提出的方法

• 将奇-辛形式$\Omega$的体积定义为接触体积与哈密顿函数Calabi不变量的推广。
• 引入$\Omega$的闭特征的作用量，推广Reeb轨道周期与哈密顿微分同胚的不动点作用量。
• 证明对于Zoll奇-辛形式$\Omega$，其体积与作用量满足一个多项式方程，其系数依赖于挠率阶数$t_\Sigma$。
• 在Zoll接触形式$\alpha_*$附近建立一个$C^3$邻域$\mathcal{U}$，使得对所有$\alpha \in \mathcal{U}$，有$t_\Sigma T_{\min}(\alpha)^2 \leq \mathrm{Volume}(\alpha) \leq t_\Sigma T_{\max}(\alpha)^2$。
• 利用Reeb流与$S^1$-作用的结构，证明不等式中等式成立当且仅当$\alpha$为Zoll形式。
• 利用该框架，将闭辛流形上$C^1$-接近恒等映射的哈密顿同伦的局部舒缩-对偶不等式作为特例恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$C^3$-邻域内，Zoll接触形式是否满足局部舒缩-对偶不等式，其界涉及挠率阶数与最小/最大Reeb轨道周期？
• RQ2 能否将体积与作用量的概念从接触形式推广至奇维流形上的奇-辛形式，从而统一接触与哈密顿不变量？
• RQ3 Zoll奇-辛形式是否满足其体积与闭特征作用量之间的多项式关系？
• RQ4 所提不等式能否作为特例恢复闭辛流形上接近恒等映射的哈密顿同伦的已知局部舒缩界？
• RQ5 该框架对闭3-流形上磁测地线动力学有何影响？

主要发现

• 对于闭3-流形$\Sigma$上的每个Zoll接触形式$\alpha_*$，存在一个$C^3$-邻域$\mathcal{U}$，使得对所有$\alpha \in \mathcal{U}$，有$t_\Sigma T_{\min}(\alpha)^2 \leq \mathrm{Volume}(\alpha) \leq t_\Sigma T_{\max}(\alpha)^2$。
• 体积界中等式成立当且仅当$\alpha$为Zoll形式，通过体积-作用量比的极值性刻画了Zoll形式。
• 奇-辛形式的广义体积与作用量在形式为Zoll时满足多项式方程，将舒缩-对偶原理推广至奇维情形。
• 该框架将闭辛流形上$C^1$-接近恒等映射的哈密顿同伦的局部舒缩-对偶不等式作为特例恢复。
• 该结果为磁测地线提供了新的几何不变量理论，通过$t_\Sigma$将它们的作用谱与底流形的拓扑联系起来。
• 本文确立了奇-辛形式猜想性局部舒缩-对偶不等式的等式情形，在多种情形下已验证。