[论文解读] A local to global principle for densities over function fields

Giacomo Micheli|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过p进数测度理论，建立了一个用于计算函数域中子集密度的局部到整体原则，将Poonen与Stoll的筛法扩展至全局函数域。文中推导出完全分歧扩张与矩形幺模矩阵密度的显式公式，表明后者密度是函数域的zeta L-多项式的有理函数。

ABSTRACT

Let $d$ be a positive integer and $\mathbb H$ be an integrally closed subring of a global function field $F$. The purpose of this paper is to provide a general sieve method to compute densities of subsets of $\mathbb H^d$ defined by local conditions. The main advantage of the method relies on the fact that one can use results from measure theory to extract density results over $\mathbb H^{d}$. Using this method we are able to compute the density of the set of polynomials with coefficients in $\mathbb H$ which give rise to "good" totally ramified extensions of the global function field $F$. As another application, we give a closed expression for the density of rectangular unimodular matrices with coefficients in $\mathbb H$ in terms of the $L$-polynomial of the function field.

研究动机与目标

• 开发一种通用筛法，用于计算全局函数域的整闭子环中的密度。
• 将Poonen与Stoll的p进筛法从数域推广至函数域。
• 计算函数域中生成‘良好’完全分歧扩张的多项式之密度。
• 确定函数域的整闭子环上k×m幺模矩阵的密度。
• 以函数域的L-多项式表达该密度的闭式表达。

提出的方法

• 利用在holomorphy集外具有支集的正除子所构成的有向集上的Moore-Smith收敛性，定义密度。
• 应用p进测度理论，计算holomorphy集S中每个点P处的局部密度。
• 通过乘积公式建立局部到整体原则：D_S(U) = ∏_{P∈S} (1 - μ_P(U_P))。
• 将全局密度计算归约为验证极限条件（公式2.1）趋于零，该条件对多项式定义的局部条件已得证明。
• 利用Riemann-Roch空间L(D)作为Z^d中超立方体的类比，定义渐近密度。
• 应用定理2.3，通过分析模P的非满秩约化测度，验证幺模矩阵的收敛条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过p进分析与测度理论，将局部到整体密度原则从数域扩展至全局函数域？
• RQ2 在整闭子环H ⊂ F中，生成‘良好’完全分歧扩张的多项式的密度是多少？
• RQ3 如何用函数域的zeta函数表达H上k×m幺模矩阵的密度？
• RQ4 筛法中的极限在何种条件下趋于零，从而确保局部到整体原则成立？
• RQ5 幺模矩阵的密度能否表示为函数域L-多项式的有理函数？

主要发现

• H^d中生成‘良好’完全分歧扩张的多项式集合的密度，由holomorphy集S中各点的乘积给出。
• 对于H上矩形幺模矩阵，密度显式计算为∏_{i=0}^{k-1} 1/ζ_H(m−i)，其中ζ_H为H的zeta函数。
• 当H = F_q[x]时，k×m幺模矩阵的密度为∏_{i=m−k+1}^{m} (q^{i−1}−1)/q^{i−1}，为有理数。
• 该方法证明了对多项式定义的局部条件，极限条件（公式2.1）趋于零，从而验证了局部到整体原则。
• 该结果将Z上的已知结果推广至函数域，并为幺模矩阵密度提供了闭式表达。
• 该方法与Serre猜想一致，并与全局域上幺模行的先前结果相符。