[论文解读] A Local Trace Formula for the Gan-gross-prasad Conjecture for Unitary Groups: The Archimedean Case

Raphaël Beuzart-Plessis|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Advanced Algebra and Geometry被引用 20

一句话总结

本文在实数域（F = R）的阿基米德情形下建立了甘-格罗布-普拉萨德猜想的局部相对迹公式，证明了在 tempered L-包中多重性的几何公式，并确认了这些表示的多重性为一。在瓦尔德斯堡格工作的基础上，该研究通过李群上的调和分析与不变分布，将先前在 p-进域上的结果推广至实数情形。

ABSTRACT

308p.

研究动机与目标

• . 本文旨在将局部甘-格罗布-普拉萨德猜想扩展至阿基米德情形（F = R），此前该猜想仅在 p-进域上成立。
• . 旨在为单位酉表示限制到子群 H 时，表示 π 的多重性 m(π) 建立几何公式。
• . 目标是证明在实数域上的 GGP 猜想背景下，tempered L-包的多重性为一。
• . 旨在利用不变分布与加权轨道积分，在实数设定下构造局部相对迹公式。
• . 本研究聚焦于构造并分析与 GGP 三元组相关的分布 JLie 的谱展开。

提出的方法

• . 本文利用哈里什-钱德拉 Schwartz 函数与李群上不变分布的理论，构造了局部相对迹公式。
• . 采用从群到其李代数的下降方法，基于哈里什-钱德拉的不变分析与半单下降理论。
• . 使用加权轨道积分将迹公式的几何侧与谱侧联系起来，重点研究强尖形式函数。
• . 通过截断技巧与仿射子空间中共轭类的分析，推导出分布 JLie 的谱展开。
• . 证明依赖于在温和情形下矩阵系数的显式交错与渐近分析。
• . 关键技术工具是利用函数 ΞH\G 及其可积性性质，以控制迹公式中的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 局部甘-格罗布-普拉萨德猜想在阿基米德情形（F = R）是否成立，特别是关于 tempered L-包的多重性为一？
• RQ2 . 能否为实数域上的酉群构造出类似于 p-进情形的局部相对迹公式？
• RQ3 . 当 F = R 时，加权轨道积分与拟特征标在李代数与群上的行为如何？
• RQ4 . 分布 JLie 的谱展开是什么？它与多重性 m(π) 有何关系？
• RQ5 . 能否利用迹公式推导出 m(π) 的几何公式，以轨道积分表示？

主要发现

• . 本文证明了在实数域上酉群的局部甘-格罗布-普拉萨德猜想中，多重性 m(π) 的几何公式。
• . 在实数域上的 GGP 设置下，确立了 tempered L-包的多重性为一。
• . 构造了局部相对迹公式，并通过截断与共轭类分析，显式计算了 JLie 的谱展开。
• . 证明了函数 ΞH\G 的可积性及其具有指数衰减的性质，从而保证了迹公式的收敛性。
• . 证明依赖于某些泛函对参数的全纯与连续依赖性，通过 Sobolev 范数估计得到验证。
• . 该结果将先前在 p-进域上的结果推广至实数情形，完成了在特征零的所有局部域上局部 GGP 猜想的证明。