[论文解读] A Locally Anisotropic Metric for Matter in an Expanding Universe: I. The Ansatz and the Modified Newton Law

P. Castelo Ferreira|ArXiv.org|Jul 5, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文提出一种局域各向异性的度量，该度量在中心质量附近插值于史瓦西度量与大尺度上的FLRW度量之间，通过使用依赖于径向坐标的指数 $\alpha(r_1) = \alpha_0 + \alpha_1 \frac{2GM}{c^2 r_1}$ 来消除事件视界处的奇点，并确保质量-能量密度为有限且正值。关键结果是推导出一种修正的牛顿定律，该定律在星系尺度上引致偏离标准引力的行为，可能无需暗物质即可解释平坦的旋转曲线。

ABSTRACT

It is suggested a metric ansatz to describe local matter in an expanding universe, hence interpolating between the Schwarzschild metric at small spatial scales and the FLRW metric at large spatial scales. This is acomplished maintaining space-time free of singularities except for the Schwarzschild mass pole at the origin as opposed to metrics already considered in the literature with the same purpose, namely the McVittie metric. The modified Newton law is analyzed and the static orbit solutions computed. It is concluded that the effects of expantion in the solar system are negligible, however depending on the metric parameter value, at galactic scales there is a significant deviation from the General Relativity Newton law which may contribute to dark matter effects allowing for a flattening of galaxy rotation curves.

研究动机与目标

• 为在膨胀宇宙中描述局域物质提供一种方法，同时避免McVittie和宇宙-史瓦西度量等现有度量中的奇点问题。
• 构建一种时空度量，使其在大质量天体附近保持局域各向异性，同时在无穷远处保持全局空间各向同性。
• 确保应力-能量张量描述的为有限且正定的质量-能量密度，位于事件视界之外。
• 推导一种修正的牛顿定律，其可能通过宇宙膨胀机制解释类似暗物质的引力效应。

提出的方法

• 引入一种度量假设，其中指数依赖于径向坐标 $\alpha(r_1) = \alpha_0 + \alpha_1 \frac{2GM}{c^2 r_1}$，以消除史瓦西半径处的本质奇点。
• 通过分析曲率不变量和应力-能量张量，推导出 $\alpha_0$ 和 $\alpha_1$ 的约束条件，以确保时空无奇点且质量-能量密度为正。
• 通过求解弱场、慢速运动极限下的测地线方程，推导出修正的牛顿引力加速度。
• 使用微扰方法计算圆轨道和椭圆轨道的解，包括进动、周期和径向演化等修正项。
• 评估包含哈勃膨胀项的有效势能和轨道动力学，表明在大尺度上与标准广义相对论存在偏离。
• 利用拉格朗日形式化推导轨道微分方程，包括由宇宙膨胀引起的 $H_0^2$ 阶修正项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种度量，使其在史瓦西时空与FLRW时空之间平滑插值，同时避免事件视界处的奇点？
• RQ2 哪些参数 $\alpha_0$ 和 $\alpha_1$ 的约束条件可确保时空无本质奇点，且质量-能量密度保持正定？
• RQ3 与标准广义相对论相比，修正的引力势如何影响行星与星系尺度的轨道动力学？
• RQ4 来自膨胀背景的修正在多大程度上可解释观测到的星系旋转曲线平坦性？
• RQ5 所预测的轨道进动与径向演化是否与太阳系观测结果一致？

主要发现

• 对于依赖于径向坐标的指数 $\alpha(r_1) = \alpha_0 + \alpha_1 \frac{2GM}{c^2 r_1}$ 且 $\alpha_1 < 0$ 的情形，若 $\alpha_0 - |\alpha_1| \geq 3$，则事件视界处时空无奇点；若 $\alpha_0 - |\alpha_1| > 5$，则时空渐近平坦。
• 修正的牛顿势引入一个与 $\left(\frac{H_0}{c}\right)^2 \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r_1}\right)^{\alpha(r_1) - 1}$ 成正比的修正项，当 $\alpha_0$ 较大时，在星系尺度上变得显著。
• 当 $\alpha_0 > \frac{c^2}{\sqrt{q_0 (GM H_0)^2}}$ 时，引力偏离牛顿定律的程度变得显著，可能无需暗物质即可解释平坦旋转曲线。
• 在太阳系中，轨道进动、周期修正和径向演化均保持在观测允许范围内，验证了该模型在行星尺度上的适用性。
• 由度量导出的应力-能量张量在相同参数约束下，确认了事件视界之外的质量-能量密度为正定。
• 该模型在无穷远处保持全局空间各向同性，同时在大质量天体附近允许局域各向异性，与宇宙学观测一致。