[论文解读] A locally mass conserving quadratic velocity, linear pressure element

R. W. Thatcher, David J. Silvester|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出一种局部守恒质量（LC）的有限元方法用于斯托克斯流，结合二次速度与线性压力，并通过添加单元内常数压力丰富项。该方法通过一种新型基于网格片的稳定性分析，证明了在广泛三角形网格上的最优收敛性和稳定性，其在解析复杂流动结构（如多个回流区）方面优于泰勒-胡德元。

ABSTRACT

By supplementing the pressure space for the Taylor-Hood element a triangular element that satisfies continuity over each element is produced. Making a novel extension of the patch argument to prove stability, this element is shown to be globally stable and give optimal rates of convergence on a wide range of triangular grids. This theoretical result is extended in the discussion given in the appendix, showing how optimal convergence rates can be obtained on all grids. Two examples are presented, one illustrating the convergence rates and the other illustrating difficulties with the Taylor-Hood element which are overcome by the element presented here.

研究动机与目标

• 为解决泰勒-胡德元仅全局强制连续性而非单元内强制连续性所导致的局部质量不守恒问题。
• 开发一种有限元方法，确保局部不可压缩性（即局部连续性），同时保持最优收敛率。
• 基于扩展片论证，建立一种新的压力空间稳定性证明，适用于广泛类别的非结构化三角形网格。
• 通过数值实例表明，新单元在粗网格上也能比泰勒-胡德元更准确地解析复杂流动结构（如多个回流区）。

提出的方法

• 该方法采用二次速度形函数（$P_2$），并将连续线性压力（$P_1$）空间通过添加单元内常数函数（$P_0$）进行丰富，形成局部守恒的压力空间。
• 通过一种新型基于片的稳定性论证证明离散的inf-sup条件，其中片被包含在更大的、重叠的扩展片中，以处理常数函数表示中的退化问题。
• 该分析扩展了斯滕伯格与博兰德-尼古莱德斯的片技术，将其适配于处理丰富压力空间中常数函数表示不唯一的问题。
• 该方法被应用于斯托克斯与纳维-斯托克斯问题，离散方程在满足速度与压力连续性约束的有限元子空间中求解。
• 针对非三角形角点，引入一种压力稳定策略：固定重心与顶点压力，确保可解性且不损害精度。
• 通过两个基准问题的数值实验验证了理论稳定性，包括具有多个回流区的旋涡流。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种有限元，使其在保持最优收敛率的同时，确保每个单元内质量守恒（即速度场在每个单元内散度为零）？
• RQ2 在非结构化三角形网格（包括高度扭曲或拉伸的单元）上，线性加单元内常数的丰富压力空间是否稳定？
• RQ3 所提出的单元是否在解析复杂流动特征（如多个回流区）方面优于泰勒-胡德元？
• RQ4 能否发展一种新的基于片的稳定性论证，以处理压力空间中常数函数表示不唯一的问题？

主要发现

• 局部守恒质量（LC）单元在广泛三角形网格上实现了速度与压力的最优收敛率，包括违反标准正则性条件 $h_{\triangle} \leq \sigma \rho_{\triangle}$ 的网格。
• LC单元在 $16 \times 4$ 网格上成功解析了旋涡流问题中的三个独立回流区，而泰勒-胡德元即使在 $64 \times 16$ 网格上也未能捕捉到超过一个完整的回流区。
• 数值结果表明，LC单元在网格细化过程中保持一致解，而泰勒-胡德元对同一问题表现出不稳定且不一致的行为。
• 稳定性证明依赖于将片包含在重叠的扩展片中，该技术克服了压力空间中常数函数多重表示带来的挑战。
• 当网格无法在所有角点处三角剖分时，只要在邻接边界的单元中固定重心与顶点压力，该方法仍保持稳定与精确。